8.4直线、平面垂直的判定和性质挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点垂直的判定和性质1.理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理.2.理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理,并能够证明.3.理解直线与平面所成的角、二面角的概念.4.能够证明空间垂直位置关系的简单命题.2018浙江,19线面垂直的判定和性质、直线与平面所成的角解三角形求正弦值★★★2017浙江,19直线与平面所成的角直线与平面平行的判定与性质2016浙江,5,18,文18线面垂直、面面垂直的判定和性质、直线与平面所成的角、二面角解三角形求余弦值2015浙江,17,文18线面垂直的判定和性质、直线与平面所成的角、二面角解三角形求正弦值、余弦值2014浙江文,20线面垂直的判定和性质、直线与平面所成的角解三角形求角和正切值分析解读1.直线与平面垂直,平面与平面垂直的判定和性质,线面间的角与距离的计算是高考的重点,特别是以多面体为载体的线面位置关系的论证,更是高考的热点,试题以中等难度为主.12.高考常考的题型有:①判断并证明两个平面的垂直关系,直线与平面的垂直关系,直线与直线的垂直关系.②线面、面面垂直的性质定理的应用,求直线与平面、平面与平面所成角等综合问题.多以棱柱、棱锥为背景.3.预计2020年高考试题中,垂直关系仍然是考查的重点和热点.考查仍会集中在垂直关系的判定和垂直的性质的应用上,其解决的方法主要是传统法和向量法,复习时应高度重视.破考点【考点集训】考点垂直的判定和性质1.(2017浙江名校(诸暨中学)交流卷四,3)设a,b,c是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则使a⊥b成立的一个充分条件是()A.a⊥c,b⊥cB.α⊥β,aα,bβ⊂⊂C.a⊥α,b⊥αD.a⊥α,b∥α答案D2.(2018浙江诸暨高三上学期期末,19,15分)如图,在空间几何体中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AB∥EF,AF=EF=BE=1,DF=.(1)求证:BF⊥平面ADF;(2)求直线BF与平面DCEF所成角的正弦值.解析(1)证明:在等腰梯形ABEF中,AB=2,EF=AF=BE=1∠FAB=,(1⇒分)故BF=,则BF2+AF2=AB2,可得AF⊥BF.(3分)在△DFB中,由BF2+DF2=BD2,可得BF⊥DF.(5分)因为AF∩DF=F,所以BF⊥平面ADF.(7分)2(2)作FO⊥AB交AB于O,如图,以O为原点,OF,OB,OG所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系O-xyz,(9分)则F,B,E,C,∴=(0,1,0),=,设平面DCEF的法向量为n=(x,y,z),由可取n=,(12分)设直线BF与平面DCEF所成角为θ,又=,所以sinθ=|cos<,n>|==,即直线BF与平面DCEF所成角的正弦值为.(15分)3.(2016课标全国Ⅰ,18,12分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.(1)证明:平面ABEF⊥平面EFDC;(2)求二面角E-BC-A的余弦值.解析(1)证明:由已知可得AF⊥DF,AF⊥FE,AF∩EF=F,所以AF⊥平面EFDC.(2分)又AF⊂平面ABEF,故平面ABEF⊥平面EFDC.(3分)(2)过D作DG⊥EF,垂足为G,由(1)知DG⊥平面ABEF.3以G为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.(6分)由(1)知∠DFE为二面角D-AF-E的平面角,故∠DFE=60°,则|DF|=2,|DG|=,可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0,).由已知得,AB∥EF,所以AB∥平面EFDC.(8分)又平面ABCD∩平面EFDC=CD,故AB∥CD,CD∥EF.由BE∥AF,可得BE⊥平面EFDC,所以∠CEF为二面角C-BE-F的平面角,∠CEF=60°.从而可得C(-2,0,),所以=(1,0,),=(0,4,0),=(-3,-4,),=(-4,0,0).(10分)设n=(x,y,z)是平面BCE的法向量,则即所以可取n=(3,0,-).设m是平面ABC的法向量,则同理可取m=(0,,4).则cos==-.故二面角E-BC-A的余弦值为-.(12分)评析本题考查了立体几何部分有关垂直的证明,以及二面角的求解和利用空间向量求解立体几何问题.解决立体几何问题时要注意“发现”垂线所在的位置.炼技法4【方法集训】方法1线面垂直判定的方法1.(2018浙江稽阳联谊学校高三联考(4月),19,15分)如图,四边形ABEF是正方形,AB∥CD,AD=AB=BC=CD.(1)若平面ABEF⊥平面ABCD,求证:DB⊥平面EBC;(2)若DF⊥BC,求直线BD与平面ADF所成角的正弦值.解析(1)证明: 四边形ABEF是正方形,∴EB⊥AB,又 平面ABEF⊥平面ABCD,且平面ABEF∩平面ABCD=AB,∴EB⊥平面ABCD,∴EB⊥BD,(2分) AD=AB=BC=CD,...
