第3讲立体几何中的向量方法(建议用时：60分钟)一、选择题1．已知平面ABC，点M是空间任意一点，点M满足条件OM＝OA＋OB＋OC，则直线AM()．A．与平面ABC平行B．是平面ABC的斜线C．是平面ABC的垂线D．在平面ABC内解析由已知得M，A，B，C四点共面，所以AM在平面ABC内，选D.答案D2．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()．A．相交B．平行C．垂直D．不能确定解析MN＝MB＋BC＋CN＝A1B＋BC＋CA＝(A1B1＋B1B)＋BC＋(CD＋DA)＝B1B＋BC＋DA，又CD是平面BB1C1C的一个法向量，且MN·CD＝B1B＋BC＋DA·CD＝0，∴MN⊥CD，又MN⊄面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.答案B3．如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()．A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析选项A正确，因为SD垂直于底面ABCD，而AC⊂平面ABCD，所以AC⊥SD；再由四边1形ABCD为正方形，所以AC⊥BD；而BD与SD相交，所以，AC⊥平面SBD，AC⊥SB.选项B正确，因为AB∥CD，而CD⊂平面SCD，AB⊄平面SCD，所以AB∥平面SCD.选项C正确，设AC与BD的交点为O，易知SA与平面SBD所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等．选项D错误，AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．答案D4．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于()．A.B.C.D.解析如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2，O(0,0,0)，B(，0,0)，A(0，－1，0)，B1(，0,2)，则AB1＝(，1,2)，则BO＝(－，0,0)为侧面ACC1A1的法向量，由sinθ＝＝.答案A5．(2014·新课标全国Ⅱ卷)直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()．A.B.C.D.解析法一由于∠BCA＝90°，三棱柱为直三棱柱，且BC＝CA＝CC1，可将三棱柱补成正方体．建立如图(1)所示空间直角坐标系．设正方体棱长为2，则可得A(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1，1,2)，N(0,1,2)，∴BM＝(1,1,2)－(2,2,0)＝(－1，－1,2)，AN＝(0,1,2)．∴cos〈BM，AN〉＝＝＝＝.法二如图(2)，取BC的中点D，连接MN，ND，AD，由于MN綉B1C1綉BD，因此有ND綉BM，则ND与NA所成角即为异面直线BM与AN所成角．设BC＝2，则BM＝ND＝，AN＝，AD＝，因此cos∠AND＝＝.2答案C6．如图，点P是单位正方体ABCD－A1B1C1D1中异于A的一个顶点，则AP·AB的值为()．A．0B．1C．0或1D．任意实数解析AP可为下列7个向量：AB，AC，AD，AA1，AB1，AC1，AD1.其中一个与AB重合，AP·AB＝|AB|2＝1；AD，AD1，AA1与AB垂直，这时AP·AB＝0；AC，AB1与AB的夹角为45°，这时AP·AB＝×1×cos＝1，最后AC1·AB＝×1×cos∠BAC1＝×＝1，故选C.答案C7．(2015·浙江卷)如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD翻折成△A′CD，所成二面角A′－CD－B的平面角为α，则()．A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α解析极限思想：若α＝π，则∠A′CB＜π，排除D；若α＝0，如图，则∠A′DB，∠A′CB都可以大于0，排除A，C.故选B.答案B二、填空题8．在一直角坐标系中，已知A(－1,6)，B(3，－8)，现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，3则折叠后A，B两点间的距离为________．解析如图为折叠后的图形，其中作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，则AC＝6，BD＝8，CD＝4，两异面直线AC，BD所成的角为60°，故由AB＝AC＋CD＋DB，得|AB|2＝|AC＋CD＋DB|2＝68，∴|AB|＝2.答案29．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，①(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝3A1B12；②A1C·(A1B1－A1A)＝0；③向量AD1与向量A1B的夹角是60°；④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|AB·AA1·AD|.其中正确命题的序号是________．解析设正方体的棱长为1，①中(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝A1C2＝3(A1B1)2＝3，故①正确；②中A1B1－A1A＝AB1，由于AB1⊥A1C，故②正确；③中A1B与AD1两异面直线所成的角为60°，但AD1与A1B的夹角为120°，故③不正确；④中|AB·AA1·AD|＝0.故④也不正确．答案①②10．已知正四...
