第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.4数系的扩充与复数的引入课时规范训练理北师大版[A级基础演练]1．(2016·山东高密检测)若复数z的实部为1，且|z|＝2，则复数z的虚部是()A．－B．±C．±iD.i解析：由题意可设z＝1＋bi(b∈R)，因为|z|＝2，所以12＋b2＝4，解得b＝±，故选B.答案：B2．(2015·高考山东卷)若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝()A．1－iB．1＋iC．－1－iD．－1＋i解析：由已知得＝i(1－i)＝1＋i，则z＝1－i，故选A.答案：A3．(2015·高考湖北卷)i为虚数单位，i607的共轭复数为()A．iB．－iC．1D．－1解析：因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.答案：A4．i是虚数单位，复数＝________.解析：＝＝＝1－i.答案：1－i5．(2015·高考江苏卷)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．解析：法一：z2＝3＋4i＝4＋4i＋i2＝(2＋i)2，所以z＝2＋i或z＝－2－i，即|z|＝＝.法二：令z＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i.由两复数相等的判定条件知∴或，所以z＝2＋i或z＝－2－i，即|z|＝＝.法三：|z2|＝|3＋4i|＝5.又∵|z2|＝|z|2＝5，∴|z|＝.答案：6．(2014·高考北京卷)复数2＝________.解析：2＝＝＝－1.答案：－17．计算：(1)；(2)；(3)＋；(4).解：(1)＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.(3)＋＝＋＝＋＝－1.(4)＝＝＝＝－－i.8．实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(1)与复数2－12i相等；(2)与复数12＋16i互为共轭复数；(3)对应的点在x轴上方；(4)对应的点在直线x＋y＋5＝0上．解：(1)根据复数相等的充要条件得解之得m＝－1.(2)根据互为共轭复数的定义得解之得m＝1.(3)根据复数z对应点在x轴上方可得m2－2m－15>0，解之得m<－3或m>5.(4)复数z对应的点(m2＋5m＋6，m2－2m－15)在直线x＋y＋5＝0上，即(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，解得：m＝或m＝.[B级能力突破]1．(2016·包头模拟)下面命题：(1)0比－i大；(2)两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数时成立；(3)x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1；(4)如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：(1)中实数与虚数不能比较大小；(2)两个复数互为共轭复数时其和为实数，但两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共轭复数；(3)x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1是错误的，因为x，y未必是实数；(4)当a＝0时，没有纯虚数和它对应．答案：A2．(2015·高考湖南卷)已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解析：由＝1＋i，得z＝＝＝＝－1－i，故选D.答案：D3．(2015·高考课标卷Ⅱ)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝()A．－1B．0C．1D．2解析：先将已知等式左边用复数的乘法法则化简，然后利用复数相等的定义求解．∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i，∴4a＋(a2－4)i＝－4i.∴解得a＝0.故选B.答案：B4．(2014·高考四川卷)复数＝________.解析：根据复数的除法运算求解．＝＝－2i.答案：－2i5．(2016·辽宁朝阳三校联考)已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝________.解析：法一：根据题意z＝＝－＋i，则＝－－i，所以z·＝·＝＋＝.法二：z·＝|z|2＝2＝＝＝＝＝.答案：6．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．解析：由已知得OC＝(3，－4)，OA＝(－1,2)，OB＝(1，－1)，根据OC＝λOA＋μOB，得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴解得∴λ＋μ＝1.答案：17．设i为虚数单位，复数z和ω满足zω＋2iz－2iω＋1＝0.(1)若z和ω满足－z＝2i，求z和ω的值；(2)求证：如果|z|＝，那么|ω－4i|的值是一个常数，并求这个常数．解：(1)∵－z＝2i，∴z＝－2i.代入zω＋2iz－2iω＋1＝0，得(－2i)(ω＋2i)－2iω＋1＝0，∴ω－4iω＋2i＋5＝0.设ω＝x＋yi(x，y∈R)，则上式可变为(x＋yi)(x－yi)－4i(x＋yi)＋2i(x－yi)＋5＝0.∴x2＋y2＋6y＋5－2xi＝0.∴∴或∴ω＝－i，z＝－i或ω＝－5i，z＝3i.(2)证明：由zω＋2iz－2iω＋1＝0，得z(ω＋2i)＝2iω－1，∴|z||ω＋2i|＝|2iω－1|.①设ω＝x＋yi(x，y∈R)，则|ω＋2i|＝|x＋(y＋2)i|＝＝.|2iω－1|＝|－(2y＋1)＋2xi|＝＝.又|z|＝，∴①可化为3(x2＋y2＋4y＋4)＝4x2＋4y2＋4y＋1.∴x2＋y2－8y＝11.∴|ω－4i|＝|x＋(y－4)i|＝＝＝3.∴|ω－4i|的值是常数，且等于3.
