高二数学上学期两条直线的位置关系习题十四●教学目标(一)教学知识点1.直线l1到l2的角.2.直线l1与l2的夹角.3.夹角公式.(二)能力训练要求1.明确理解直线l1到l2的角及两直线夹角的定义.2.掌握直线l1到l2的角及两直线夹角的计算公式.3.能根据直线方程求直线l1到l2的角及两直线夹角.(三)德育渗透目标1.用联系的观点看问题2.认识事物在一定条件下能够相互转化.●教学重点两条直线的夹角.●教学难点夹角概念的理解.●教学方法学导式首先使学生认识到平行和垂直是两直线位置关系的特殊情形，而相交是两直线位置关系的一般情形.而能够反映相交直线相对位置的就是角，由此引出直线l1到l2的角，直线l1与l2的夹角，并且在有关公式的推导过程中，引导学生灵活应用有关三角函数的知识.然后通过一定的训练使学生加深对公式的理解与熟悉程度.●教具准备投影片两张第一张：l1到l2的角的公式的推导过程(记作§7.3.2A）第二张：本节例题(记作§7.3.2B)●教学过程Ⅰ.课题导入［师］上一节课，我们一起研究了两条直线的平行与垂直问题，得出了两直线平行与垂直的充要条件，现在，我们作一下简单回顾.［师］两直线平行的充要条件是什么?［生］两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等，在y轴上的截距不等.［师］两直线垂直的充要条件是什么?［生］两直线垂直的充要条件是两直线的斜率之积为－1.［师］上述两位同学的回答基本正确，但是都忽略了对于条件的说明.两直线平行或垂直条件都是对于两直线斜率存在时而言，若两直线中有一条或两条斜率不存在，则它们的位置关系较易判断.需要注意的是，若对于含有字母的直线方程讨论位置关系，不应漏斜率为0或斜率不存在等特殊情形.［师］这一节课，我们将一起研究两直线相交而形成角的问题.Ⅱ.讲授新课1.直线l1到l2的角两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两对对顶角，我们把直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角.用心爱心专心［师］这一概念的定义，是为了区分两相交直线所形成的角，也是进一步研究的需要，应注意在这一概念中l1、l2是有顺序的.如图，直线l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2.并且，有了对这一概念的认识，也就容易理解两直线的夹角的概念.2.直线l1与l2的夹角如上图所示，l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2＝π－θ1，当直线l1与l2相交但不垂直时，θ1和π－θ1，仅有一个角是锐角，我们就把其中的锐角叫做两条直线的夹角.当直线l1⊥l2时，直线l1和l2的夹角是.说明：θ1＞0，θ2＞0，且θ1＋θ2＝π.［师］请大家根据直线l1到l2的角与l1与l2夹角的定义过程中，寻求一下两种角的取值范围有何不同?［生］l1到l2的角的取值范围是(0°，1８0°)，l1与l2的夹角的取值范围是(0°，］.［师］下面我们一起推导直线l1到l2的角的公式.3.直线l1到l2的角的公式tanθ＝(给出投影片§7.3.2A)推导：设直线l1到l2的角为θ，l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.如果1＋k1k2＝0，即k1k2＝－1，则θ＝；如果1＋k1k2≠0设l1、l2的倾斜角分别是α1和α2，则k1＝tanα1，k2＝tanα2由上图(1)(2)分别可知：θ＝α2－α1或θ＝π－（α1－α2）＝π＋（α2－α1）∴tanθ＝tan（α2－α1）或tanθ＝tan［π＋（α2－α1）］＝tan（α2－α1）于是tanθ＝［师］根据两直线的夹角定义可知，夹角在(0°，90°］范围内变化，所以夹角正切值大于或等于0.故可以由l1到l2的角取绝对值而得到l1与l2的夹角公式.4.直线l1和l2的夹角公式用心爱心专心tanα＝［师］下面，我们通过例题讲解进一步熟悉两个公式的应用.5.例题讲解［例4］求直线l1：y＝－2x＋3，l2：y＝x－的夹角(用角度制表示).解：由两条直线的斜率k1＝－2，k2＝1得tanα＝∴α＝arctan3＝71°3４′评述：此题是直接应用两直线的夹角公式，要求学生熟练掌握.［例5］等腰三角形一腰所在直线l1的方程是x－2y－2＝0，底边所在直线l2的方程是x＋y－1＝0，点(－2，0)在另一腰上，求这条腰所在直线l3的方程.分析：已经已知l3上一点，故求出l3的斜率k3即可，如图，根据等腰三角形的性质，可得到π－θ1＝π－θ2，即θ1－θ2，而θ1、θ2分别为直线l1到l2与l2到l3的角，而根据公式这两角都可用斜率表示，...
