课时作业48双曲线一、选择题1．设双曲线mx2＋ny2＝1的一个焦点与抛物线y＝x2的焦点相同，离心率为2，则此双曲线的方程为()A．x2－＝1B．y2－＝1C.－＝1D.－＝1解析：因为抛物线y＝x2的焦点为(0,2)，双曲线离心率为2，所以c＝2，a＝1，＝a2＝1，＝－b2＝－3，因此n＝1，m＝－，双曲线方程为y2－＝1.答案：B2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点为F1，F2，且C上点P满足PF1·PF2＝0，|PF1|＝3，|PF2|＝4，则双曲线C的离心率为()A.B.C.D．5解析：依题意得2a＝|PF2|－|PF1|＝1. PF1·PF2＝0，∴PF1⊥PF2，∴|F1F2|＝＝5，因此该双曲线的离心率e＝＝5，故选D.答案：D3．如图，F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的两个分支分别交于点A，B，若△ABF2为等边三角形，则该双曲线的离心率为()A.B.C．4D.解析：点A，B是双曲线上的点，所以，|AF1|－|AF2|＝2a， △ABF2为等边三角形，∴|AB|＝|AF2|＝|BF2|，∴|AF1|－|AB|＝|BF1|＝2a， |BF2|－|BF1|＝2a，∴|BF2|＝4a，∠F1BF2＝120°，|F1F2|＝2c，∴根据余弦定理得|F1F2|2＝|BF1|2＋|BF2|2－2|BF1|·|BF2|·cos∠F1BF2，将数据代入得4c2＝(2a)2＋(4a)2－2·2a·4a·cos120°，整理得c2＝7a2，e2＝＝7，e＝，故选D.答案：D4．(2016·广西南宁五校联考)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2.若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率为()A．4＋2B.－1C.D.＋1解析：因为MF1的中点P在双曲线上，所以|PF2|－|PF1|＝2a.因为△MF1F2为正三角形，边长都是2c，所以c－c＝2a，所以e＝＝＝＋1，故选D.答案：D5．(2016·重庆巴蜀中学模拟)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若FB＝2FA，则此双曲线的离心率为()A.B.C．2D.解析：因为FB＝2FA，所以A是FB的中点．设F(c,0)，过焦点F与渐近线y＝x垂直的直线为y＝－(x－c)，故点A的横坐标为，直线y＝－(x－c)与y＝－x的交点的横坐标为.由中点坐标公式有＋c＝，即e4－5e2＋4＝0，解得e＝2.答案：C6．(2016·四川资阳模拟)如图，已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝8，P是双曲线右支上的一点，直线F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|＝2，则该双曲线的离心率为()A.B.C．2D．3解析： |QF1|＝|MF1|＝2＋|PF2|，又|PF1|－|PF2|＝2＋|QF1|－|PF2|＝2a，∴2＋2＝2a，a＝2，∴离心率e＝＝＝2，故选C.答案：C7．(2016·湖南怀化模拟)点P是双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)与圆C2：x2＋y2＝a2＋b2的一个交点，且2∠PF1F2＝∠PF2F1，其中F1，F2分别为双曲线C1的左、右焦点，则双曲线C1的离心率为()A.＋1B.C.D.－1解析： a2＋b2＝c2，∴圆C2必过双曲线C1的两个焦点，∠F1PF2＝，2∠PF1F2＝∠PF2F1＝，则|PF2|＝c，|PF1|＝c，故双曲线的离心率为＝＋1，故选A.答案：A8．(2016·河南郑州质量预测)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF1|＝|F1F2|，且3|PF2|＝2|QF2|，则该双曲线的离心率为()A.B.C．2D.解析：由题意得|PF1|＝|F1F2|＝2c，由双曲线的定义|PF2|＝2c－2a.又因为3|PF2|＝2|QF2|，所以|QF2|＝3c－3a，则|QF1|＝3c－a.因为∠PF2F1＝π－∠QF2F1，所以cos∠PF2F1＝－cos∠QF2F1，由余弦定理的推论得＝－，化简并整理得5c2－12ac＋7a2＝0，即5e2－12e＋7＝0，解得e＝或e＝1(舍去)．故选A.答案：A9．(2016·河南豫东、豫北十校测试)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，F1，F2分别为C的左、右焦点，A为双曲线上一点，若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝()A.B.C.D.解析：因为双曲线的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以b＝2a.又|F1A|＝2|F2A|，且|F1A|－|F2A|＝2a，所以|F2A|＝2a，|F1A|＝4a，而c2＝5a2，即2c＝2a，所以cos∠AF2F1＝＝＝，故选C.答案：C10．(2016·湖北黄冈调研)点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)左支上的一点，其右焦点为F(c,0)，若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e的取值范围是()A.B．(1,8]C.D．(2,3]解析...
