第30讲平面向量的数量积夯实基础【p65】【学习目标】1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4．能运用数量积表示两个向量的夹角及判断两个平面向量的垂直关系；5．会用向量方法解决一些简单的平面几何问题及力学问题．【基础检测】1．向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝()A．－1B．0C．1D．2【解析】法一： a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，∴a2＝2，a·b＝－3，从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.法二： a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1，2)＝(1，0)，从而(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1.【答案】C2．已知向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角为π.若a⊥(a＋λb)，则实数λ＝()A．1B.C.D．2【解析】 a⊥，∴a·＝0，即a2＋λa·b＝0，3＋λ×2××cosπ＝0，解得λ＝.【答案】C3．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量AB在CD方向上的投影为()A.B.C．－D．－【解析】由题意知AB＝(2，1)，CD＝(5，5)，则AB在CD方向上的投影为|AB|·cos〈AB，CD〉＝＝.【答案】A4．已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a与b的夹角是()A.B.C.D.【解析】 (a－b)⊥a，∴a·(a－b)＝0，即a2－a·b＝0，|a|2－|a||b|cosθ＝0，∴2－2cosθ＝0，cosθ＝，所以θ＝.【答案】B5．若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足CM＝CB＋CA，则MA·MB＝________．【解析】因为MA·MB＝·＝·＝－×12－×12＋×12×＝－2.【答案】－2【知识要点】1．两向量的夹角已知非零向量a，b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做a与b的夹角．a与b的夹角的取值范围是__[0，π]__．当a与b同向时，它们的夹角为__0__；当a与b反向时，它们的夹角为__π__；当夹角为90°时，我们说a与b垂直，记作a⊥b.2．向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，我们把__|a||b|cos__θ__叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任何向量的数量积为0，即0·a＝0.3．向量数量积的几何意义向量的投影：|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时，__它是负值__；当θ为直角时，它是零．a·b的几何意义：数量积a·b等于__a的长度|a|__与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积．4．平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.结论几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝____数量积a·b＝|a|·|b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a|·|b|(当且仅当a∥b时等号成立)|x1x2＋y1y2|≤·5.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.典例剖析【p65】考点1平面向量的数量积的运算(1)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x＝()A．－1B．－C.D．1【解析】a·b＝1×2＋(－1)×x＝2－x＝1，∴x＝1.【答案】D(2)已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．【解析】因为a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝ke＋(1－2k)(e1·e2)－2e，且|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝－，所以k＋(1－2k)·－2＝0，解得k＝.【答案】(3)已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2，若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________．【解析】 向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2，∴AB·AC＝|AB|·|AC|cos120°＝2×3×＝－3. AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，∴AP·BC＝·BC＝·＝0，即λAB·AC－AB·AC＋|AC|2－λ|AB|2＝0，∴－3λ＋3＋4－9λ＝0，解得λ＝.【答案】(4)正方形ABCD边长为2，中心为O，直线l经过中心O，交AB于M，交CD于N,P为平面上一点，且2OP＝λOB＋(1－λ)OC，则PM·PN的最小值是()A．－B．－1C．－D．－2【解析】由题意可得：PM·PN＝＝(4PO2－4NO2)＝PO2－NO2，设2OP＝OQ，则OQ＝λOB＋(1－λ)OC， λ＋(1－λ)＝1，∴Q，B，C三点共线．当MN与BD重合时，最大，且max＝2，据此：(PM...
