§6.3等比数列基础篇固本夯基【基础集训】考点一等比数列的有关概念及运算1.Sn是正项等比数列{an}的前n项和,a3=18,S3=26,则a1=()A.2B.3C.1D.6答案A2.在数列{an}中,满足a1=2,an2=an-1·an+1(n≥2,n∈N*),Sn为{an}的前n项和,若a6=64,则S7的值为()A.126B.256C.255D.254答案D3.已知{an}是等比数列,若a1=1,a6=8a3,数列{1an}的前n项和为Tn,则T5=()A.3116B.31C.158D.7答案A4.已知正项等比数列{an}满足log2an+2-log2an=2,且a3=8,则数列{an}的前n项和Sn=.答案2n+1-25.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.(1)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.解析(1)证明: a1=1,Sn+1=4an+2,∴a1+a2=4a1+2,a2=3a1+2,∴b1=a2-2a1=3,当n≥2时,Sn=4an-1+2,∴Sn+1-Sn=4an-4an-1,∴an+1=4an-4an-1,∴an+1-2an=2(an-2an-1).又 bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1,n≥2,∴{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.(2)由(1)知:bn=an+1-2an=3·2n-1,∴an+12n+1-an2n=34,∴数列{an2n}是首项为12,公差为34的等差数列,∴an2n=12+(n-1)×34=34n-14,∴an=(3n-1)·2n-2.6.已知Sn为数列{an}的前n项和,且2Sn=3an-2(n∈N*).(1)求an和Sn;(2)若bn=log3(Sn+1),求数列{b2n}的前n项和Tn.解析(1) 2Sn=3an-2,∴当n=1时,2S1=3a1-2,解得a1=2;当n≥2时,2Sn-1=3an-1-2,∴2Sn-2Sn-1=3an-3an-1,∴2an=3an-3an-1,∴an=3an-1,∴数列{an}是首项为2,公比为3的等比数列,1∴an=2·3n-1,Sn=2(1-3n)1-3=3n-1.(2)由(1)知Sn=3n-1,∴bn=log3(Sn+1)=log33n=n,∴b2n=2n,∴Tn=2+4+6+…+2n=n(2+2n)2=n2+n.7.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+λ(λ为常数).(1)试探究数列{an+λ}是不是等比数列,并求an;(2)当λ=1时,求数列{n(an+λ)}的前n项和Tn.解析(1)因为an+1=2an+λ,所以an+1+λ=2(an+λ).又a1=1,所以当λ=-1时,a1+λ=0,数列{an+λ}不是等比数列,此时an+λ=an-1=0,即an=1;当λ≠-1时,a1+λ≠0,所以an+λ≠0,所以数列{an+λ}是以1+λ为首项,2为公比的等比数列,此时an+λ=(1+λ)2n-1,即an=(1+λ)2n-1-λ.(2)当λ=1时,由(1)知an=2n-1,所以n(an+1)=n×2n,Tn=2+2×22+3×23+…+n×2n①,2Tn=22+2×23+3×24+…+n×2n+1②,①-②得:-Tn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=2(1-2n)1-2-n×2n+1=2n+1-2-n×2n+1=(1-n)2n+1-2.所以Tn=(n-1)2n+1+2.考点二等比数列的性质8.已知数列{an}为等比数列,且a1a13+2a72=4π,则tan(a2a12)的值为()A.√3B.-√3C.±√3D.-√33答案A9.在等比数列{an}中,a2,a16是方程x2+6x+2=0的根,则a2a16a9的值为()A.2B.-√2C.√2D.-√2或√2答案D10.已知递增的等比数列{an}的公比为q,其前n项和Sn<0,则()A.a1<0,01C.a1>0,00,q>1答案A综合篇知能转换【综合集训】考法一等比数列基本量运算的解题技巧1.(2018湖北荆州一模,9)已知数列{an}是公差d不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列{bn}的连续三项,则b3+b4b4+b5的值为()A.12B.4C.2D.√2答案A2.(2019湖北荆州3月联考,4)已知数列{an}为等差数列,且2a1,2,2a6成等比数列,则{an}的前6项的和为()2A.15B.212C.6D.3答案C3.(2018河南开封一模,5)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且9S3=S6,a2=1,则a1=()A.12B.√22C.√2D.2答案A4.(2018陕西延安黄陵中学(重点班)第一次大检测,10)已知公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2,2a5,3a8成等差数列,则3S3S6=()A.134B.1312C.94D.1112答案C考法二等比数列的判定与证明5.(2018山东实验中学诊断测试,7)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应偿还a升,b升,c升,1斗为10升,则下列判断正确的是()A.a,b,c依次成公比为2的等比数列,且a=507B.a,b,c依次成公比为2的等比数列,且c=507C.a,b,c依次成公比为12的等比数列,且a=507D.a,b,c依次成公比为12的等比数列,且c=507答案D6.(2019河南濮阳重点高中联考,...
