课时作业(三)三角形的面积及三角形中的几何计算A组(限时：10分钟)1．在△ABC中，a＝6，B＝30°，C＝120°，则△ABC的面积是()A．9B．8C．9D．18解析：由题知A＝180°－120°－30°＝30°.∴a＝b＝6，∴S＝×6×6×sin120°＝9.答案：C2．在△ABC中，c＝，b＝1，B＝30°，在△ABC的面积为()A.或B.或C.或D.解析：由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accosB，即1＝a2＋3－2acos30°，化简得a2－3a＋2＝0.∴a＝1或a＝2.又S△ABC＝acsinB＝a，∴S△ABC＝或.答案：B3．如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，则AB的长为()A．5B.C．5D．5解析：在△ACD中，cosC＝＝＝.∴sinC＝.在△ABC中，由正弦定理得＝，∴AB＝＝＝5.答案：D4．在△ABC中，ab＝60，S△ABC＝15，△ABC的外接圆半径为，则边c的长为________．解析：S△ABC＝absinC＝15，∴sinC＝.由正弦定理＝2R，∴c＝2R×sinC＝3.答案：35．在△ABC中，求证：acos2＋ccos2＝(a＋b＋c)．证明：左边＝a·＋c·＝＋acosC＋ccosA＝＋＝＋＝＝右边，∴等式成立．B组(限时：30分钟)1．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则角A的对边的长为()A.B.C.D.解析：∵S△ABC＝bcsinA＝×1×c×sin60°＝，∴c＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－12bccos60°＝1＋16－2×4×＝13.∴a＝.答案：D2．在△ABC中，已知a＝3，cosC＝，S△ABC＝4，则b＝()A.B．2C．4D．3解析：在△ABC中，sinC＝＝，则由S△ABC＝absinC，得×3××b＝4，∴b＝2.答案：B3．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.B.C.D.解析：在△ABC中，由余弦定理可知：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，即7＝AB2＋4－2×2×AB×.整理得AB2－2AB－3＝0.解得AB＝－1(舍去)或AB＝3.故BC边上的高AD＝AB·sinB＝3×sin60°＝.答案：B4．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，如果2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积为，则b等于()A．1＋B.C.D．2＋解析：由ac·sin30°＝，得ac＝6，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos30°＝(a＋c)2－2ac－ac＝4b2－12－6，∴b＝＋1.答案：A5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为()A．2＋2B.＋1C．2－2D.－1解析：A＝π－(B＋C)＝π－＝，由正弦定理得＝，则a＝＝＝＋，∴S△ABC＝absinC＝×(＋)×2×＝＋1.答案：B6．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为()A.B．3C.D．7解析：S＝×AB·ACsin60°＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以由余弦定理得BC2＝AB2＋AC22－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝，选A.答案：A7．在△ABC中，B＝60°，AB＝1，BC＝4，则BC边上的中线AD的长为________．解析：画出三角形知AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos60°＝3，∴AD＝.答案：8．在△ABC中，BC＝2，B＝，当△ABC的面积等于时，sinC＝________.解析：由三角形的面积公式S＝AB·BCsin＝，易求得AB＝1，由余弦定理得AC＝，再由三角形的面积公式S＝AC·BCsinC＝，即可得出sinC＝.答案：9．如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．解析：∵AD⊥AC，∴∠DAC＝.∵sin∠BAC＝，∴sin＝，∴cos∠BAD＝.由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝(3)2＋32－2×3×3×＝3.∴BD＝.答案：10．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB＝b.(1)求角A的大小；(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．解：(1)由2asinB＝b及正弦定理＝，得sinA＝.因为A是锐角，所以A＝.(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2－bc＝36.又b＋c＝8，所以bc＝.由三角形面积公式S＝bcsinA，得△ABC的面积为.11．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a.(1)求；(2)若c2＝b2＋a2，求B.解：(1)由正弦定理，得sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝sinA.故sinB＝sinA，所以＝.(2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，得cosB＝.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋)a2.可得cos2B＝，又cosB>0，故cosB＝，所以B＝45°.12．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c.已知c＝2，C＝.(1)若△ABC的面积等于，求a，b；(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．解：(1)由余弦定理及已知条件得a2＋b2－ab＝4.3又∵△ABC的面积等于，∴absinC＝，得ab＝4.联立方程组解得a＝2，b＝2.(2)由题意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA.当cosA＝0时，A＝，B＝，a＝，b＝.当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，联立方程组解得a＝，b＝.∴△ABC的面积S＝absinC＝.4
