第二章变化率与导数一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)1．某物体的运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是()A.＝＝B.＝C.＝D.＝解析：由平均速度的定义可知，物体在t到Δt，Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．所以＝＝.答案：A2．下列各式正确的是()A．(lna)′＝(a为常数)B．(cosx)′＝sinxC．(sinx)′＝cosxD．(x－3)′＝－x－4解析：因为a为常数，(lna)′＝0，故A错．由导数公式表易知B、D错误．答案：C3．设f(x)＝xlnx＋x，若f′(x0)＝3，则x0＝()A．e2B．eC.D．ln2解析： f(x)＝xlnx＋x，∴f′(x)＝lnx＋2.又 f′(x0)＝3，∴x0＝e.答案：B4．设f(x)＝－，则f′(1)等于()A．0B.C.D．－解析： f′(x)＝′＝－x－＋x－，∴f′(1)＝－＋＝.答案：C5．若点P在曲线y＝x3－3x2＋(3－)x＋上移动，经过点P的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是()A.B.∪C.D.∪解析：y′＝3x2－6x＋3－＝3(x－1)2－≥－，即tanα≥－.又α∈[0，π)，∴α∈∪.答案：B6．曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为()A．y＝x－1B．y＝－x＋1C．y＝2x－2D．y＝－2x＋2解析：由题可知，点(1,0)在曲线y＝x3－2x＋1上，求导可得y′＝3x2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得切线方程为y＝x－1.答案：A17．已知f(x)＝＋3xf′(0)，则f′(1)＝()A．1B．－1C．0D．3解析：f′(x)＝x2＋3f′(0)，令x＝0，则f′(0)＝3f′(0)，则f′(0)＝0.∴f′(1)＝1＋3f′(0)＝1.答案：A8．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为()A．3B．2C．1D.解析：y′＝′＝－，令－＝，结合x＞0，得x＝3.答案：A9．已知y＝sin2x＋sinx，则y′()A．仅有最小值的奇函数B．既有最大值又有最小值的偶函数C．仅有最大值的偶函数D．非奇非偶函数解析：y′＝′＝(sin2x)′＋(sinx)′＝·cos2x·2＋cosx＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1＝22－，∴y′max＝2，y′min＝－，且y′＝2cos2x＋cosx－1为偶函数．答案：B10．若曲线C：y＝x3－2ax2＋2ax上任意点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整数a的值等于()A．－2B．0C．1D．－1解析：y′＝3x2－4ax＋2a， 曲线在任意点处的切线的倾斜角都是锐角，∴3x2－4ax＋2a＞0恒成立．∴Δ＝16a2－24a＜0，∴0＜a＜.又a∈Z，∴a＝1.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．设曲线y＝xn＋1－2(n∈N＋)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2011x1＋log2011x2＋…＋log2011x2010的值为________________．解析：由y＝xn＋1－2，得y′＝(n＋1)xn，则在点(1,1)处切线的斜率k＝y′|x＝1＝n＋1，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得xn＝，∴log2011x1＋log2011x2＋…＋log2011x2010＝log2011(x1·x2·…·x2010)＝log2011＝log2011＝－1.2答案：－112．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程是________________．解析： y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，∴当x＝－1时，y′有最小值3，即斜率最小为3.此时切点为(－1，－14)，所以切线方程为3x－y－11＝0.答案：3x－y－11＝013．已知过曲线y＝x3＋bx＋c上一点A(1,2)的切线为y＝x＋1，则bc的值为_________．解析：f′(1)＝(3x2＋b)|x＝1＝3＋b＝1，所以b＝－2.所以y＝x3－2x＋c，所以2＝1－2＋c，所以c＝3，从而bc＝－6.答案：－614．若曲线f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_________．解析： f′(x)＝5ax4＋，x∈(0，＋∞)，∴由题知5ax4＋＝0在(0，＋∞)上有解．即a＝－在(0，＋∞)上有解． x∈(0，＋∞)，∴－∈(－∞，0)，∴a∈(－∞，0)．答案：(－∞，0)三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)求下列函数的导数：(1)y＝；(2)f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5)；(3)y＝；(4)y＝a3xcos(2x＋1)．解析：(1)y＝＝x3＋x－＋x－2sinx.∴y′＝3x2－x－－2x－3sinx＋x－2cosx.(2)f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5)＝2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x...
