3.1.3空间向量的数量积运算A级：基础巩固练一、选择题1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：①(AA1＋AD＋AB)2＝3AB2；②A1C·(A1B1－A1A)＝0；③AD1与A1B的夹角为60°.其中正确命题的个数是()A．1个B．2个C．3个D．0个答案B解析如图所示，(AA1＋AD＋AB)2＝(AA1＋A1D1＋D1C1)2＝AC12＝3AB2；A1C·(A1B1－A1A)＝A1C·AB1＝0；AD1与A1B的夹角是D1C与D1A夹角的补角，而D1C与D1A的夹角为60°，故AD1与A1B的夹角为120°.综上可知，①②正确，③不正确．故选B.2．正方体ABCD－A′B′C′D′中，〈A′B，B′D′〉＝()A．30°B．60°C．90°D．120°答案D解析连接BD，A′D，因为B′D′∥BD，△A′BD为正三角形，所以∠A′BD＝60°，由向量夹角的定义可知〈A′B，BD〉＝120°，即〈A′B，B′D′〉＝120°.3．若O是△ABC所在平面内一点，且满足(BO＋OC)·(OC－OA)＝0，则△ABC一定是()A．等边三角形B．斜三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形答案C解析∵BO＋OC＝BC，OC－OA＝AC，∴BC·AC＝0.∴BC⊥AC.∴△ABC一定是直角三角形．4．如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么()A.AE·BC＜AE·CDB.AE·BC＝AE·CDC.AE·BC＞AE·CDD.AE·BC与AE·CD不能比较大小答案C解析易知AE⊥BC，∴AE·BC＝0，AE·CD＝(AB＋BE)·CD＝AB·(BD－BC)＋BC·CD＝|AB|·|BD|cos120°－|AB||BC|cos120°＋|BC||CD|·cos120°＜0.∴AE·BC＞AE·CD.15．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C解析AB＝AC＋CD＋DB，∴AB·CD＝(AC＋CD＋DB)·CD＝AC·CD＋CD2＋DB·CD＝0＋12＋0＝1，又|AB|＝2，|CD|＝1.∴cos〈AB，CD〉＝＝＝.∵异面直线所成的角是锐角或直角，∴a与b所成的角是60°.6．正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是()A．2B.C.D.答案C解析如图所示，设AB＝a，AC＝b，AA1＝c.由题意知|a|＝|b|＝|c|＝2，且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.因为EF＝EA＋AA1＋A1F＝－AB＋AA1＋AC＝－a＋b＋c，所以|EF|2＝a2＋b2＋c2＋2＝×22＋×22＋22＋2××2×2cos60°＝1＋1＋4－1＝5，所以|EF|＝.2二、填空题7．已知空间向量a，b，|a|＝3，|b|＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ的值为________．答案－解析由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，∴a2＋λb2＋(1＋λ)a·b＝0，即18＋25λ＋(1＋λ)×3×5×cos135°＝0，∴λ＝－.8．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．答案－13解析∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13.9．设a，b，c是任意的非零向量，且互不共线，则下列四个命题：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(c·b)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中真命题的序号是________．答案②④解析①由向量数乘与数量积的区别，易知不成立；②是三角形不等式，所以成立；③[(c·b)a－(c·a)b]·c＝(c·b)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，故垂直，所以③不成立；④由向量的数量积运算可知成立．三、解答题10．如图所示，在平面角为120°的二面角α－AB－β中，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，求线段CD的长．解∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴CA·AB＝0，BD·AB＝0.∵二面角α－AB－β的平面角为120°，∴〈CA，BD〉＝180°－120°＝60°.∴|CD|2＝CD2＝(CA＋AB＋BD)2＝CA2＋AB2＋BD2＋2CA·AB＋2CA·BD＋2BD·AB＝3×62＋2×62×cos60°＝144，∴CD＝12.B级：能力提升练如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.(1)求证：CC1⊥BD；(2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明．3解(1)证明：设CD＝a，CB＝b，CC1＝c.由题意得|a|＝|b|，BD＝CD－CB＝a－b.CD，CB，CC1两两夹角的大小相等，设为θ，于是CC1·BD＝c·(a－b)＝c·a－c·b＝|c|·|a|cosθ－|c|·|b|cosθ＝0，∴CC1⊥BD.(2)要使A1C⊥平面C1BD，只需A1C⊥BD，A1C⊥DC1.由CA1·C1D＝(CA＋AA1)·(CD－CC1)＝(a＋b＋c)·(a－c)＝a2－a·c＋a·b－b·c＋c·a－c2＝|a|2－|c|2＋|b||a|cosθ－|b||c|cosθ＝(|a|－|c|)(|a|＋|c|＋|b|·cosθ)＝0，得当|c|＝|a|时，A1C⊥DC1.而由(1)知CC1⊥BD，又显然BD⊥AC，∴BD⊥平面ACC1A1，∴A1C⊥BD.综上可得，当＝1时，A1C⊥平面C1BD.4
