2.1数列的概念与简单表示法第2课时数列的通项与递推公式(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知数列{an}满足：a1＝－，an＝1－(n>1)，则a4等于()A.B.C．－D.【解析】a2＝1－＝5，a3＝1－＝，a4＝1－＝－.【答案】C2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是()A．an＋1＝an＋n，n∈N*B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2【解析】由a2－a1＝3－1＝2，a3－a2＝6－3＝3，a4－a3＝10－6＝4，a5－a4＝15－10＝5，归纳猜想得an－an－1＝n(n≥2)，所以an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2.【答案】B3．设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是()A.B.C．4D．0【解析】∵an＝－3＋，由二次函数性质得，当n＝2或3时，an最大，最大为0.【答案】D4．在数列{an}中，a1＝2，an＋1－an－3＝0，则{an}的通项公式为()A．an＝3n＋2B．an＝3n－2C．an＝3n－1D．an＝3n＋1【解析】因为a1＝2，an＋1－an－3＝0，所以an－an－1＝3，an－1－an－2＝3，an－2－an－3＝3，…a2－a1＝3，以上各式相加，则有an－a1＝(n－1)×3，所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1.【答案】C5．已知在数列{an}中，a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a2016＝()A．3B．－3C．6D．－6【解析】由题意知：a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，1a5＝a4－a3＝－6，a6＝a5－a4＝－3，a7＝a6－a5＝3，a8＝a7－a6＝6，a9＝a8－a7＝3，a10＝a9－a8＝－3，…故知{an}是周期为6的数列，∴a2016＝a6＝－3.【答案】B二、填空题6．数列{an}中，若an＋1－an－n＝0，则a2016－a2015＝______________.【解析】由已知a2016－a2015－2015＝0，∴a2016－a2015＝2015.【答案】20157．数列{an}满足an＝4an－1＋3，且a1＝0，则此数列的第5项是________.【解析】因为an＝4an－1＋3，所以a2＝4×0＋3＝3，a3＝4×3＋3＝15，a4＝4×15＋3＝63，a5＝4×63＋3＝255.【答案】2558．数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________.【解析】由an＋1＝，得an＝1－，∵a8＝2，∴a7＝1－＝，a6＝1－＝－1，a5＝1－＝2，…，∴{an}是以3为周期的数列，∴a1＝a7＝.【答案】三、解答题9．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求通项an.【解】将an＋1＝两边同时取倒数得：＝，则＝＋，即－＝，∴－＝，－＝，…，－＝，把以上这(n－1)个式子累加，得－＝.∵a1＝1，∴an＝(n∈N*)．10．已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·，试求数列{an}的最大项.【解】假设第n项an为最大项，则即解得即4≤n≤5，所以n＝4或5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝.[能力提升]1．已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)，则当an取得最大值时，n等于()A．5B．6C．6或7D．5或6【解析】由题意知2所以解得所以n＝5或6.【答案】D2．已知函数f(x)＝若数列{an}满足a1＝，an＋1＝f(an)，n∈N*，则a2014＋a2015等于()A．4B.C.D.【解析】a2＝f＝－1＝；a3＝f＝－1＝；a4＝f＝＋＝；a5＝f＝2×－1＝；a6＝f＝2×－1＝；…∴从a3开始数列{an}是以3为周期的周期数列，∴a2014＋a2015＝a4＋a5＝.故选B.【答案】B3．我们可以利用数列{an}的递推公式an＝(n∈N*)求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第________项．【解析】由题意可知，a5＝a10＝a20＝a40＝a80＝a160＝a320＝a640＝…＝5.故第8个5是该数列的第640项．【答案】6404．已知数列{an}，满足a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，求数列的通项公式．【解】法一：由an－an－1＝＝－(n≥2)，则an－1－an－2＝－，…a3－a2＝－，a2－a1＝1－.将上式相加得an－a1＝1－(n≥2)，又a1＝1，∴an＝2－，a1＝1也适合，∴an＝2－(n∈N*)．法二：由已知得an－an－1＝－(n≥2)，则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1＝－＋－＋－＋…＋1－＋1＝2－(n≥2)，a1＝1也适合，∴an＝2－(n∈N*)．3
