高二数学上学期两条直线的位置关系习题十六一、两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系与二元一次方程组的关系.(1)若二元一次方程组有惟一解，即有惟一解，则l1，l2相交.(2)若二元一次方程组无解，则l1∥l2.(3)若二元一次方程组有无数个解，则直线l1与l2重合.二、两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(其中A2，B2，C2全不为0)的位置关系与方程系数的关系：(1)l1∥l2，(2)l1，l2相交，(3)l1，l2重合.三、参考例题［例］两条直线y＝kx＋2k＋1和x＋2y－４＝0的交点在第四象限，则k的取值范围是()A.（－6，2）B.（－，0）C.（－，－）D.（，＋∞)解法一：解方程组得交点为(－）∵此点在第四象限∴∴－，故选C.解法二：如图，直线x＋2y－４＝0与x轴的交点是A（4，0），方程y＝kx＋2k＋1表示的是过定点P（－2，1）的一组直线，其中PB为过点P且与x＋2y－４＝0平行的直线.由于直线的交点在第四象限，因此满足条件的直线的位置应介于直线PB与PA之间，其余率kPB＜k＜kPA而kPA＝－，kPB＝－，所以－＜k＜－故选C.评述：有关直线的交点问题，可以通过方程用代数的方法解决，也可结合图形用几何的用心爱心专心方法解决，让学生予以体会.四、直线系方程及其应用若两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0或A2x＋B2y＋C2＋λ（A1x＋B1y＋C1）＝0(λ为常数).［例1］求证：不论m为什么实数，直线(m－1)x＋（2m－1）y＝m－5都通过一定点.证法一：取m＝1，得直线方程y＝－４；再取m＝，得直线方程为x＝9.从而得两条直线的交点为(9，－４），又当x＝9，y＝－４时，有(m－1）9＋（2m－1）·（－４）＝m－5即点(9，－４）在直线(m－1）x＋（2m－1）y＝m－5上，故直线(m－1）x＋（2m－1）y＝m－5都通过定点(9，－４）.证法二：∵（m－1）x＋（2m－1）y＝m－5，∴m（x＋2y－1）－（x＋y－5）＝0，则直线(m－1）x＋（2m－1）y＝m－5都通过直线x＋2y－1＝0与x＋y－5＝0的交点.由方程组解得x＝9，y＝－４，即过点(9，－４）所以直线(m－1）x＋（2m－1）y＝m－5经过定点(9，－４).证法三：∵（m－1）x＋（2m－1）y＝m－5，∴m（x＋2y－1）＝x＋y－5由m为任意实数，知关于m的一元一次方程m（x＋2y－1）＝x＋y－5的解集为R，∴解得x＝9，y＝－４所以直线(m－1）x＋（2m－1）y＝m－5都通过定点(9，－４）.［例2］若a＋b＋c＝0，求证直线ax＋by＋c＝0必经过一个定点.证明：由a＋b＋c＝0，且a、b不同时为0，设b≠0，则a＝－（b＋c）.代入直线方程ax＋by＋c＝0得(x－y）＋（x－1）＝0.此方程可视为过直线x－y＝0与x－1＝0的交点的直线系方程.解方程组得x＝1，y＝1即两直线交点为(1，1），故直线ax＋by＋c＝0过定点(1，1).五、点关于直线的对称点、直线关于点的对称直线的求解［例1］已知点A的坐标为(－４，４），直线l的方程为3x＋y－2＝0，求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线l关于点A的对称直线l′的方程.解：(1)设点A′的坐标为（x′，y′）.因为点A与A′关于直线l对称，所以AA′⊥l，且AA′的中点在l上，而直线l的斜率是－3，所以kAA′＝.又因为kAA′＝.再因为直线l的方程为3x＋y－2＝0，AA′的中点坐标是()，所以3·用心爱心专心－2＝0.由①和②，解得x′＝2，y′＝6.所以A′点的坐标为(2，6).(2)关于点A对称的两直线l与l′互相平行，于是可设l′的方程为3x＋y＋c＝0.在直线l上任取一点M(0，2），其关于点A对称的点为M′（x′，y′），于是M′点在l′上，且MM′的中点为点A，由此得，即：x′＝－８，y′＝6.于是有M′（－８，6）.因为M′点在l′上，所以3x（－８）＋6＋c＝0∴c＝1８故直线l′的方程为3x＋y＋1８＝0［例2］光线由点A(－1，4）射出，遇到直线l：2x＋3y－6＝0后被反射，已知其反射光线过点B(3，)，求反射光线所在直线的方程.解：设点A关于l的对称点为A′（x0，y0），则即所求直线方程为y－（x－3），即13x－26y＋８5＝0用心爱心专心
