1重庆市永川中学高二数学第8周第1次小题单（综合应用）1数列{}na中，31a，121nnaaaa（*nN）。（1）求1a，2a，4a，5a；（2）求数列{}na的前n项和nS；解：（1）当1n时，有12aa；当2n时，有123aaa；……∴112a，212a，42a，54a．（2） 11nnnnSaSS，∴12nnSS∴12nnSS∴{}nS是首项为1112Sa，公比为2的等比数列。∴121222nnnS2已知复数z的共轭复数为，且z·－3i·z＝，求z.解设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi，由已知，得(x＋yi)(x－yi)－3i(x＋yi)＝，∴x2＋y2－3xi＋3y＝，∴x2＋y2＋3y－3xi＝1＋3i，∴∴∴z＝－1或z＝－1－3i.3已知z1＝2－2i，且|z|＝1，求|z－z1|的最大值．解：如图， |z|＝1，z的轨迹可看成半径为1，圆心为点(0,0)的圆．而z1对应坐标系中的点Z1(2，－2)，∴|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)与圆上的点的最大距离，由图知|z－z1|max＝2＋1．4求实数a分别取何值时，复数z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件：①在复平面的第二象限内；②在复平面内的x轴上方；③在直线x＋y＋7＝0上．解：①点Z在复平面的第二象限内，则解得a＜－3．②点Z在x轴上方，则即(a＋3)(a－5)＞0，解得a＞5，或a＜－3．③点Z在直线x＋y＋7＝0上，∴＋a2－2a－15＋7＝0，即a3＋2a2－15a－30＝0，∴(a＋2)(a2－15)＝0，故a＝－2，或a＝±．∴a＝－2，或a＝±时，点Z在直线x＋y＋7＝0上．5．用数学归纳法证明不等式“＋＋…＋>(n>2)”时的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，不等式的左边()A．增加了一项B．增加了两项，C．增加了两项，，又减少了一项D．增加了一项，又减少了一项6．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．证明当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，由此可以猜想，2n＋2>n2(n∈N*)成立．下面用数学归纳法证明：12①当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．②假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2，那么n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2k2－2.要证当n＝k＋1时结论成立，只需证2k2－2≥(k＋1)2，即证k2－2k－3≥0，即证(k＋1)(k－3)≥0.又 k＋1>0，k－3≥0，∴(k＋1)(k－3)≥0.所以当n＝k＋1时，结论成立．由①②可知，n∈N*,2n＋2>n2.7．在数列{an}中，a1＝，an＋1＝(n＝1,2,3，…)(1)求a2，a3；(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．解(1)a2＝＝＝，a3＝＝＝.(2)猜想an＝，下面用数学归纳法证明此结论正确．证明：①当n＝1时，结论显然成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝，那么ak＋1＝＝＝＝.也就是说，当n＝k＋1时结论成立．根据①②可知，结论对任意正整数n都成立，即an＝.8．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明：对任意的n∈N*，不等式··…·>成立．(1)解由题意：Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r.所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)，由于b>0且b≠1，所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列．又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，＝b，即＝b，解得r＝－1.(2)证明当b＝2时，由(1)知an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N*)，所证不等式为··…·>.①当n＝1时，左式＝，右式＝.左式>右式，所以结论成立，②假设n＝k(k∈N*)时结论成立，即··…·>，则当n＝k＋1时，··…·>·＝.要证当n＝k＋1时结论成立，只需证≥，即证≥，由基本不等式＝≥成立，故≥成立，所以当n＝k＋1时，结论成立．由①②可知，n∈N*时，不等式··…·>成立．9已知a>0，且a≠1，证明函数y＝ax－xlna在(－∞，0)内是减函数．解y′＝axlna－lna＝lna(ax－1)当a>1时， lna>0，ax<1，∴y′<0，即y在(－∞，0)内是减函数；当0
1，∴y′<0，即y在(－∞，0)内是减函数．综上...
