4.2同角三角函数的基本关系式与诱导公式核心考点·精准研析考点一同角三角函数的基本关系式的应用1.(2019·西安模拟)若sinα=-,且α为第四象限角,则tanα=()A.B.-C.D.-【解析】选D.因为sinα=-,α为第四象限角,所以cosα==,所以tanα==-.2.已知cosα=k,k∈R,α∈,则sinα=()A.-B.C.±D.【解析】选B.因为α∈,所以cosα<0,sinα>0,所以sinα==.【巧思妙解】(排除法)选B.因为α∈,所以sinα>0,排除A,C,又-11,故排除D.若将题中的“cosα=k,k∈R,α∈”换为“sinα=k,k∈R,α∈”,如何求cosα呢?【解析】因为α∈,所以cosα<0,由平方关系知cosα=-=-.3.若=3,则cosα-2sinα=()A.-1B.1C.-D.-1或-【解析】选C.由已知得3sinα=1+cosα>0,cosα=3sinα-1,cos2α=1-sin2α=(3sinα-1)2,sinα=,所以cosα-2sinα=3sinα-1-2sinα=sinα-1=-.4.已知tanα=,则:(1)=________.(2)sin2α+sinαcosα+2=________.【解析】(1)===-.(2)sin2α+sinαcosα+2=3sin2α+sinαcosα+2cos2α====.答案:(1)-(2)同角三角函数关系式的应用方法(1)利用sin2α+cos2α=1可实现α的正弦、余弦的互化,利用=tanα可以实现角α的弦切互化.(2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值,因为利用“平方关系”公式,需求平方根,会出现两解,需根据角所在的象限判断符号,当角所在的象限不明确时,要进行分类讨论.(3)分式中分子与分母是关于sinα,cosα的齐次式,往往转化为关于tanα的式子求解.【秒杀绝招】1.勾股数解T1,看到sinα=-,想到勾股数5,12,13,所以cosα=±,tanα=±,因为α为第四象限角,所以tanα<0,tanα=-.2.转化代入法解T4,(1)将tanα=转化为cosα=2sinα,将cosα=2sinα代入得=-.(2)同理可得.考点二诱导公式的应用【典例】1.若f(x)=sin+1,且f(2020)=2,则f(2021)=________.2.已知cos=a,则cos+sin=________.【解题导思】序号联想解题1看到形如2020的数字,想到函数有周期性.三角函数可运用诱导公式求解2看到三角函数给值求值问题.想到找出已知角与未知角的关系,+=π,-=-θ【解析】1.因为f(2020)=sin+1=sin(1010π+α)+1=sinα+1=2,所以sinα=1,cosα=0.所以f(2021)=sin+1=sin+1=cosα+1=1.答案:12.cos=cos=-cos=-a,sin=sin=cos=a,所以cos+sin=-a+a=0.答案:01.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是:“负化正,大化小,化到锐角就好了”.2.利用诱导公式化简三角函数的要求(1)化简过程是恒等变形.(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.1.(2019·淮南十校联考)已知sin=,则cos的值是()A.-B.C.D.-【解析】选A.因为sin=,所以cos=cos=-sin=-.2.sin的值为________.【解析】sin=-sinπ=-sin=-sinπ=-sin=-sin=-.答案:-考点三同角关系与诱导公式的综合应用命题精解读考什么:(1)同角关系整体代换,sinα±cosα与sinα·cosα之间的关系,同角关系与诱导公式综合应用等.(2)考查逻辑推理,数学运算等核心素养,以及转化与化归的思想.怎么考:诱导公式与同角关系结合考查求三角函数值,代数式的值等.新趋势:以考查同角关系与诱导公式综合应用为主.学霸好方法同角三角函数基本关系式的应用技巧1.切弦互化:主要利用公式tanθ=化成正弦、余弦,或者利用公式=tanθ化成正切2.“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=(sinθ±cosθ)2∓2sinθcosθ=tan3.和积转换:利用关系式(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ进行变形、转化整体代换问题【典例】(2020·合肥模拟)已知tanα=-,则sinα(sinα-cosα)=()A.B.C.D.【解析】选A.sinα(sinα-cosα)=sin2α-sinαcosα==,将tanα=-代入得原式==.整体代换是如何实现的?提示:弦切互化法:主要利用公式tanx=进行切化弦或弦化切,如,asin2x+bsinxcosx+ccos2x等类型可进行弦化切.sinα±cosα与sinα·cosα之间的关系【典例】(2019·苏州模拟)已知sinθ+cosθ=,θ∈(0,π),则tanθ的值为________.【解析】因为sinθ+cosθ=,①两边平方,得1+2sinθcosθ=,所以2sinθcosθ=-,又θ∈(0,π),所以sinθ>0,cosθ<0,因为(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=,所以sinθ-cosθ=,②由①②得sinθ=,cosθ=-,所以tanθ=-.答案:...
