考点集训(二十九)第29讲平面向量的应用对应学生用书p232A组题1．已知向量a＝(1，1－cosθ)，b＝，且a∥b，则锐角θ等于()A．30°B．45°C．60°D．75°[解析] a∥b，∴(1－cosθ)(1＋cosθ)＝，即sin2θ＝.又 θ为锐角，∴sinθ＝，θ＝45°.[答案]B2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若20aBC＋15bCA＋12cAB＝0，则△ABC最小角的正弦值等于()A.B.C.D.[解析] 20aBC＋15bCA＋12cAB＝0，∴20a(AC－AB)＋15bCA＋12cAB＝0，∴(20a－15b)AC＋(12c－20a)AB＝0， AC与AB不共线，∴解得∴△ABC最小角为角A，∴cosA＝＝＝，∴sinA＝，故选C.[答案]C3．在直角坐标平面上，OA＝(1，4)，OB＝(－3，1)，且OA与OB在直线l的方向向量上的投影的长度相等，则直线l的斜率为()A．－B.C.或－D.[解析]设直线l的一个方向向量为v＝(1，k)，由题意可得＝，∴|1＋4k|＝|－3＋k|，解得k＝或－.[答案]C4．已知两定点A(1，1)，B(－1，－1)，动点P(x，y)满足PA·PB＝，则点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．拋物线[解析]由题知PA＝(1－x，1－y)，PB＝(－1－x，－1－y)，所以PA·PB＝(1－x)(－1－x)＋(1－y)(－1－y)＝x2＋y2－2.由已知x2＋y2－2＝，得＋＝1，所以点P的轨迹为椭圆．[答案]B5．已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，则EF1·EF2的最大值、最小值分别为()A．9，7B．8，7C．9，8D．17，8[解析]由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，设E(x，y)(－3≤x≤3)，则EF1＝(－1－x，－y)，EF2＝(1－x，－y)，所以EF1·EF2＝x2－1＋y2＝x2－1＋8－x2＝＋7，所以当x＝0时，EF1·EF2有最小值7，当x＝±3时，EF1·EF2有最大值8，故选B.[答案]B6．如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(PA＋PB)·PC的最小值为________．[解析] 圆心O是直径AB的中点，∴PA＋PB＝2PO，∴(PA＋PB)·PC＝2PO·PC， |PO|＋|PC|＝3≥2，∴|PO|·|PC|≤，即(PA＋PB)·PC＝2PO·PC＝－2|PO|·|PC|≥－，当且仅当|PO|＝|PC|＝时，等号成立，故最小值为－.[答案]－7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)BA·BC＝cCB·CA.(1)求角B的大小；(2)若|BA－BC|＝，求△ABC面积的最大值．[解析](1)由题意得(a－c)cosB＝bcosC.根据正弦定理得(sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，所以sinAcosB＝sin(C＋B)，即sinAcosB＝sinA，因为A∈(0，π)，所以sinA>0.所以cosB＝，又B∈(0，π)，所以B＝.(2)因为|BA－BC|＝，所以|CA|＝.即b＝，根据余弦定理及基本不等式，得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，即ac≤3(2＋)，故△ABC的面积S＝acsinB≤，即△ABC的面积的最大值为.8．已知平面直角坐标系内三点A、B、C在一条直线上，满足OA＝(－3，m＋1),OB＝(n，3),OC＝(7，4)，且OA⊥OB，其中O为坐标原点．(1)求实数m,n的值；(2)设△AOC的重心为G，且OG＝OB，求cos∠AOC的值．[解析](1)因为三点A,B,C在一条直线上，所以AB∥BC，又AB＝(n＋3，2－m),BC＝(7－n，1)，所以n＋3＝(7－n)(2－m)，①因为OA⊥OB，所以－3n＋3(m＋1)＝0，即n＝m＋1，②由①、②解得或(2)因为G为△OAC的重心，且OG＝OB，所以点B为线段AC的中点，所以m＝1,n＝2.所以OA＝(－3，2),OC＝(7，4)，因此cos∠AOC＝＝＝－.B组题1．已知向量a，b，c且a＋b＋c＝0，|a|<|b|<|c|.设a与b的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，a与c的夹角为θ3，则θ1，θ2，θ3的大小关系是()A．θ1<θ2<θ3B．θ1<θ3<θ2C．θ2<θ3<θ1D．θ3<θ2<θ1[解析]如图，由|a|<|b|<|c|知：BC>BA>AC⇒∠BAC>∠BCA>∠ABC⇒θ1<θ3<θ2.[答案]B2．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则AE·BE的最大值为()A.B.C.D．3[解析]如图所示：以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，过点B做BN⊥x轴，BM⊥y轴，因为AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，所以AN＝ABcos60°＝，BN＝ABsin60°＝∴DN＝1＋＝，∴BM＝，∴CM＝BMtan30°＝，∴DC＝DM＋MC＝，∴A(1，0)，B，C(0，)，设E(0，m)...
