高二数学上学期直线的方程例题（六）［例1］若直线l1的斜率为k1，倾斜角为α1，直线l2的斜率为k2，倾斜角为α2，且k1＋ｋ2＝0、ｋ1·ｋ2≠0，求证：α1＋α2＝π
选题意图：考查斜率的概念及倾斜角的范围
证明：∵k1=tanα1，ｋ2＝tanα2，ｋ1＋ｋ2＝0，∴tanα1＋tanα2＝0，tanα1=tan（π－α2），∵0≤α1＜π，0≤α2＜π，∴α1＝π－α2，即α1＋α2＝π
说明：若k1与k2同时为0时，则α1＝α2＝0，α1＋α2并不等于π
在证明的过程中，α1，α2的范围写成0＜α1＜π，0＜α2＜π也可
［例2］直线l过点(1，2)和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程
选题意图：考查直线方程的截距式或点斜式及分类讨论的思想
解：设直线l的横截距为a,由题意可得纵截距为6－a
∴直线l的方程为=1,∵点(1，2)在直线l上，∴=1,a2－5a+6=0,解得a1=2,a2＝3，当a=2时，直线的方程为=1，直线经过第一、二、四象限
当a=3时，直线的方程为=1,直线经过第一、二、四象限
综上所述，所求直线方程为2x+y－4=0和x+y－3=0
说明：此题也可由直线l过点(1，2)和一、二、四象限得出a＞0且6－a＞0，即0＜a＜6，从而得a1=2和a2=3都合题意，所以所求直线方程为或=1
［例3］过点P(2，1)作直线l分别交x，y正半轴于A，B两点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程
选题意图：考查综合运用直线方程解决问题的能力
解：设直线l的方程为(a＞0,b＞0)
∵P（2，1）在直线l上，∴＝1
于是≤()2＝
当且仅当时上式等号成立
即a=4,b=2时，最大
用心爱心专心∴Ｓ△AＯB的最小值为ab＝4
此时直线l的方程为＝1
∴当△AOB的面积最小时，直线l的方程为＝1
用心爱心专心
