2016-2017学年高中数学第2章圆锥曲线与方程3.2双曲线的简单性质第1课时双曲线的简单性质课后演练提升北师大版选修1-1一、选择题(每小题5分,共20分)1.设双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为()A.y=±xB.y=±2xC.y=±xD.y=±x解析:由题意知,2b=2,2c=2,则b=1,c=,a=;双曲线的渐近线方程为y=±x.答案:C2.双曲线mx2+y2=1的实轴长是虚轴长的2倍,则m=()A.-B.-4C.4D.解析:由题意知m<0,方程化为y2-=1,∴a2=1,b2=-,又a=2b,∴a2=4b2.∴1=-,∴m=-4.答案:B3.焦点在x轴上,虚轴长为12,离心率为的双曲线标准方程是()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1解析:∵b=6,=,∴a=8又焦点在x轴上,∴方程为-=1.答案:D4.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1解析:∵渐近线方程是y=x,∴=.①∵双曲线的一个焦点在y2=24x的准线上,∴c=6.②又c2=a2+b2,③由①②③知,a2=9,b2=27,此双曲线方程为-=1.答案:B二、填空题(每小题5分,共10分)5.若双曲线-=1的离心率e=2,则m=________.解析:由a2=16,b2=m,∴c2=16+m,==4,∴m=48.答案:486.双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为________.解析:双曲线-=1的焦点为(4,0)或(-4,0).渐近线方程为y=x或y=-x.由双曲线的对称性可知,任一焦点到任一渐近线的距离相等,d==2.1答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)7.根据以下条件,求双曲线的标准方程:(1)过P(3,-),离心率为;(2)与椭圆+=1有公共焦点,且离心率e=.解析:(1)若双曲线的焦点在x轴上,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).∵e=,∴=2,即a2=b2.①又过点P(3,-)有:-=1,②由①②得:a2=b2=4,双曲线方程为-=1,若双曲线的焦点在y轴上,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).同理有:a2=b2,①-=1,②由①②得a2=b2=-4(不合题意,舍去).综上,双曲线的标准方程为-=1.(2)由椭圆方程+=1,知长半轴a1=3,短半轴b1=2,半焦距c1==,所以焦点是F1(-,0),F2(,0).因此双曲线的焦点也为(-,0)和(,0),设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).由题设条件及双曲线的性质,有解得即双曲线方程为-y2=1.8.直线x=t过双曲线-=1的右焦点且与双曲线的两渐近线分别交于A、B两点,若原点在以AB为直径的圆内,求双曲线离心率的取值范围.解析:双曲线的渐近线方程为y=±x,由x=t=c可得|AB|=,又∵原点在以AB为直径的圆内,∴c<,∴a<b,∴>1,∵e==,∴e>,∴离心率e的取值范围是(,+∞).☆☆☆9.(10分)一个椭圆,其中心在原点,焦点在同一坐标轴上,焦距为2.一双曲线和这椭圆有公共焦点,且双曲线的半实轴长比椭圆的半长轴长小4,双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3,求椭圆和双曲线的方程.解析:(1)焦点在x轴上,椭圆为+=1(a>b>0),且c=,设双曲线为-=1,m=a-4,∵=,易得a=7,m=3.∵椭圆和双曲线的半焦距为,∴b2=36,n2=4.2∴椭圆方程为+=1,双曲线方程为-=1.(2)焦点在y轴上,同理可求得椭圆方程为+=1,双曲线方程为-=1.3