2016-2017学年高中数学第2章圆锥曲线与方程3.2双曲线的简单性质第1课时双曲线的简单性质课后演练提升北师大版选修1-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±2xC．y＝±xD．y＝±x解析：由题意知，2b＝2,2c＝2，则b＝1，c＝，a＝；双曲线的渐近线方程为y＝±x.答案：C2．双曲线mx2＋y2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m＝()A．－B．－4C．4D．解析：由题意知m＜0，方程化为y2－＝1，∴a2＝1，b2＝－，又a＝2b，∴a2＝4b2.∴1＝－，∴m＝－4.答案：B3．焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为的双曲线标准方程是()A.－＝1B．－＝1C.－＝1D．－＝1解析：∵b＝6，＝，∴a＝8又焦点在x轴上，∴方程为－＝1.答案：D4．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为()A.－＝1B．－＝1C.－＝1D．－＝1解析：∵渐近线方程是y＝x，∴＝.①∵双曲线的一个焦点在y2＝24x的准线上，∴c＝6.②又c2＝a2＋b2，③由①②③知，a2＝9，b2＝27，此双曲线方程为－＝1.答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)5．若双曲线－＝1的离心率e＝2，则m＝________.解析：由a2＝16，b2＝m，∴c2＝16＋m，＝＝4，∴m＝48.答案：486．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为________．解析：双曲线－＝1的焦点为(4,0)或(－4,0)．渐近线方程为y＝x或y＝－x.由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d＝＝2.1答案：2三、解答题(每小题10分，共20分)7．根据以下条件，求双曲线的标准方程：(1)过P(3，－)，离心率为；(2)与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝.解析：(1)若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．∵e＝，∴＝2，即a2＝b2.①又过点P(3，－)有：－＝1，②由①②得：a2＝b2＝4，双曲线方程为－＝1，若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．同理有：a2＝b2，①－＝1，②由①②得a2＝b2＝－4(不合题意，舍去)．综上，双曲线的标准方程为－＝1.(2)由椭圆方程＋＝1，知长半轴a1＝3，短半轴b1＝2，半焦距c1＝＝，所以焦点是F1(－，0)，F2(，0)．因此双曲线的焦点也为(－，0)和(，0)，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由题设条件及双曲线的性质，有解得即双曲线方程为－y2＝1.8．直线x＝t过双曲线－＝1的右焦点且与双曲线的两渐近线分别交于A、B两点，若原点在以AB为直径的圆内，求双曲线离心率的取值范围．解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，由x＝t＝c可得|AB|＝，又∵原点在以AB为直径的圆内，∴c＜，∴a＜b，∴＞1，∵e＝＝，∴e＞，∴离心率e的取值范围是(，＋∞)．☆☆☆9．(10分)一个椭圆，其中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为2.一双曲线和这椭圆有公共焦点，且双曲线的半实轴长比椭圆的半长轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程．解析：(1)焦点在x轴上，椭圆为＋＝1(a＞b＞0)，且c＝，设双曲线为－＝1，m＝a－4，∵＝，易得a＝7，m＝3.∵椭圆和双曲线的半焦距为，∴b2＝36，n2＝4.2∴椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.(2)焦点在y轴上，同理可求得椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.3
