2.4.1抛物线的标准方程课后导练基础达标1.已知抛物线的准线方程是x=-7,则抛物线的标准方程是()A.x2=-28yB.y2=28xC.y2=-28xD.x2=28y答案:B2.已知抛物线的焦点在直线3x-y+36=0上,则抛物线的标准方程是()A.x2=72yB.x2=144yC.y2=-48xD.x2=144y或y2=-48x答案:D3.已知点(-2,3)与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离是5,则p的值为()A.4B.3C.2D.1答案:A4.若点P到定点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则点P的轨迹方程是()A.y2=-16xB.y2=-32xC.y2=16xD.y2=16x或y=0(x<0)答案:C5.抛物线y=a1x2(a≠0)的焦点坐标为()A.(0,4a)或(0,-4a)B.(0,4a)C.(0,4a)D.(4a,0)答案:C6.圆心在抛物线y2=2x上,且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是_____________.答案:(x-21)2+(y±1)2=17.与抛物线y2=1[]4x关于直线x-y=0对称的抛物线的准线方程是_______________.答案:y=1618.抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10,则P点的坐标是_____________________.答案:(9,±6)9.抛物线的焦点F在x轴上,A(m,-3)在抛物线上,且|AF|=5,求抛物线的标准方程.解:设抛物线方程为y2=2px或y2=-2px(p>0).∵A点在抛物线上,∴(-3)2=2pm或(-3)2=-2pm.∴m=±p29.①又|AF|=2p+|m|=5,②1把①代入②可得2p+p29=5,即p2-10p+9=0.∴p=1或p=9.∴所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.10.已知抛物线的焦点为(3,3),准线为x轴,求抛物线的方程.解:设M(x,y)为抛物线上的任意一点,则由抛物线的定义,得yyx22)3()3(.平方整理,得y=61x2-x+3,为所求抛物线的方程.综合运用11.求抛物线y=ax2的焦点坐标和准线方程.解:方程y=ax2不是抛物线的标准方程的形式,需将其化成标准方程.抛物线方程可化为x2=a1y,其中2p=||1a,∴p=21|a|,焦点在y轴上.当a>0时,焦点坐标为(0,a41),准线方程为y=-a41;当a<0时,焦点坐标为(0,a41),准线方程为y=-a41.综上所述,可知:抛物线y=ax2的焦点坐标为(0,a41),准线方程为y=-a41.12.求抛物线x2=y上的点P到直线2x-y-4=0的距离最小时的点P的坐标.解:设点P(x,y),则x2=y.P到直线2x-y-4=0的距离d=555|42|yx|2x-x2-4|=55|x2-2x+4|=55[(x-1)2+3].∴当x=1时,d最小,此时y=1.∴P(1,1)为所求.拓展探究13.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F任作一条直线m,交抛物线于P1、P2两点,求证:以P1P2为直径的圆和该抛物线的准线相切.2证明:如右图,设P1P2的中点为P0,过P1、P2、P0分别向准线l引垂线,垂足分别为Q1、Q2、Q0,根据抛物线的定义,得|P1F|=|P1Q1|,|P2F|=|P2Q2|.∴|P1P2|=|P1F|+|P2F|=|P1Q1|+|P2Q2|.∵P1Q1∥P0Q0∥P2Q2,|P1P0|=|P0P2|,∴|P0Q0|=21(|P1Q1|+|P2Q2|)=21|P1P2|.由此可知,P0Q0是以P1P2为直径的圆P0的半径,且P0Q0⊥l,因此,圆P0与准线相切.14.如右图,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.(1)求抛物线方程;(2)过M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标;(3)以M为圆心,MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时,讨论直线AK与圆M的位置关系.解:(1)抛物线y2=2px的准线为x=-2p,于是,4+2p=5,∴p=2,∴抛物线方程为y2=4x,(2)∵点A的坐标是(4,4),由题意得B(0,4),M(0,2).又∵F(1,0),∴kFA=34,又MN⊥FA,∴kMN=43,则FA的方程为y=34(x-1),MN的方程为y-2=43,解方程组,432),1(34xyxy得54,58yx.∴N(58,54).(3)由题意得,圆M的圆心是点(0,2),半径为2,当m=4时,直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离,当m≠4时,直线AK的方程为y=m44(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0,圆心M(0,2)到直线AK的距离d=2)4(16|82|mm,令d>2,解得m>1.∴当m>1时,直线AK与圆M相离;3当m=1时,直线AK与圆M相切;当m<1时,直线AK与圆M相交.4