【红对勾】（新课标）2017高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形3.8正余弦定理的应用举例真题演练文1．(2013·福建卷)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．解析：cos∠BAD＝cos＝sin∠BAC＝.故在△ABD中，由余弦定理知：BD2＝BA2＋DA2－2BA·AD·cos∠BAD＝3，故BD＝.答案：2．(2011·上海卷)在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为________千米．解析：∠ACB＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得＝＝，AC＝千米．答案：3．(2014·重庆卷)已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是()A．bc(b＋c)>8B．ab(a＋b)>16C．6≤abc≤12D．12≤abc≤24解析：设△ABC的外接圆半径为R，由三角形内角和定理知A＋C＝π－B，A＋B＝π－C.于是sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋⇒sin2A＋sin2B＝－sin2C＋⇒sin2A＋sin2B＋sin2C＝⇒2sin(A＋B)cos(A－B)＋2sinC·cosC＝⇒2sinC·[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝⇒4sinAsinBsinC＝⇒sinAsinBsinC＝.则S＝absinC＝2R2·sinAsinBsinC＝R2∈[1,2]，∴R∈[2,2]，∴abc＝8R3sinAsinBsinC＝R3∈[8,16]，知C、D均不正确．bc(b＋c)>bc·a＝R3≥8，∴A正确，事实上，注意到a、b、c的无序性，并且16>8，若B成立，则A必然成立，排除B.故选A.答案：A4．(2015·课标卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．解析：依题意作出四边形ABCD，连接BD.令BD＝x，AB＝y，∠CDB＝α，∠CBD＝β.在△BCD中，由正弦定理得＝.由题意可知，∠ADC＝135°，则∠ADB＝135°－α.在△ABD中，由正弦定理得＝，所以＝，即y＝＝＝＝.因为0°<β<75°，α＋β＋75°＝180°，所以30°<α<105°，当α＝90°时，易得y＝；当α≠90°时，y＝＝，又tan30°＝，tan105°＝tan(60°＋45°)＝＝－2－，结合正切函数的性质知，∈(－2，)，且≠0，所以y＝∈(－，)∪(，＋)．综上所述：y∈(－，＋)．答案：(－，＋)
