第3讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式[基础题组练]1．计算－sin133°cos197°－cos47°cos73°的结果为()A.B.C.D.解析：选A.－sin133°cos197°－cos47°cos73°＝－sin47°(－cos17°)－cos47°sin17°＝sin(47°－17°)＝sin30°＝.2．(2019·益阳、湘潭调研试卷)已知sinα＝，则cos(π＋2α)＝()A．B．－C．D．－解析：选D.法一：因为sinα＝，所以cos2α＝1－2sin2α＝1－＝，所以cos(π＋2α)＝－cos2α＝－，故选D.法二：因为sinα＝，所以cos2α＝1－sin2α＝，所以cos(π＋2α)＝－cos2α＝1－2cos2α＝－，故选D.3．(2019·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log等于()A．2B．3C．4D．5解析：选C.因为sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，所以sinαcosβ＋cosαsinβ＝，sinαcosβ－cosαsinβ＝，所以sinαcosβ＝，cosαsinβ＝，所以＝5，所以log＝log52＝4.故选C.4．已知cos＝，则sin的值为()A.B．－C.D．－解析：选B.sin＝sin＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.5．(2019·洛阳统考)已知sinα＋cosα＝，则cos4α＝________．解析：由sinα＋cosα＝，得sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝，所以sin2α＝，从而cos4α＝1－2sin22α＝1－2×＝.答案：6．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β是第三象限角，则sin＝________．解析：依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sinβ＝，所以sinβ＝－.又β是第三象限角，因此有cosβ＝－，所以sin＝－sin＝－sinβcos－cosβsin＝.答案：7．已知tanα＝2.(1)求tan的值；(2)求的值．解：(1)tan＝＝＝－3.(2)＝＝＝＝1.8．已知α∈，且sin＋cos＝.(1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cosβ的值．解：(1)因为sin＋cos＝，两边同时平方，得sinα＝.又＜α＜π，所以cosα＝－＝－.(2)因为＜α＜π，＜β＜π，所以－＜α－β＜.又由sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝.所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝－×＋×＝－.[综合题组练]1．若α，β都是锐角，且cosα＝，sin(α－β)＝，则cosβ＝()A.B.C.或－D.或解析：选A.因为α，β都是锐角，且cosα＝，sin(α－β)＝，所以sinα＝，cos(α－β)＝，从而cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝，故选A.2．(2019·河南百校联盟联考)已知α为第二象限角，且tanα＋tan＝2tanαtan－2，则sin等于()A．－B．C．－D．解析：选C.tanα＋tan＝2tanαtan－2⇒＝－2⇒tan＝－2，因为α为第二象限角，所以sin＝，cos＝－，则sin＝－sin＝－sin＝cossin－sincos＝－.3．计算＝________．解析：＝＝＝＝.答案：4．(2019·安徽五校联盟第二次质检)若α是锐角，且cos＝，则cos＝______．解析：因为0<α<，所以<α＋<，又cos＝，所以sin＝，则cos＝sinα＝sin＝sin·cos－cossin＝×－×＝.答案：5．(2018·高考浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求sin的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cosβ的值．解：(1)由角α的终边过点P得sinα＝－，所以sin(α＋π)＝－sinα＝.(2)由角α的终边过点P得cosα＝－，由sin(α＋β)＝得cos(α＋β)＝±.由β＝(α＋β)－α得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝－或cosβ＝.6．已知sinα＋cosα＝，α∈，sin＝，β∈.(1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sinα＋cosα)2＝，即1＋sin2α＝，所以sin2α＝.又2α∈，所以cos2α＝＝，所以tan2α＝＝.(2)因为β∈，所以β－∈，又sin＝，所以cos＝，于是sin2＝2sin·cos＝.又sin2＝－cos2β，所以cos2β＝－，又2β∈，所以sin2β＝，又cos2α＝＝，α∈，所以cosα＝，sinα＝.所以cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝×－×＝－.
