课时限时检测(二十七)平面向量的数量积(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．(2013·辽宁高考)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为()A.B.C.D.【答案】A2．(2013·大纲全国卷)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝()A．－4B．－3C．－2D．－1【答案】B3．若向量a,b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()A．4B．3C．2D．0【答案】D4．已知|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，则|2a－b|＝()A．2B．4C．2D．8【答案】A5．已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足AP＝λAB，AQ＝(1－λ)AC，λ∈R.若BQ·CP＝－，则λ＝()A.B.C.D.【答案】A6．已知平面向量|a|＝2，|b|＝1，且(a＋b)⊥，则a与b的夹角为()A.B.C.D.【答案】A二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，则向量b－3a与向量a夹角的余弦值为．【答案】－8．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则a＋b在a方向上的投影为．【答案】29．设i、j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且OA＝－2i＋j，OB＝4i＋3j，则△OAB的面积等于．【答案】5三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知a＝(1,2)，b＝(x,1)，(1)若(2a＋b)∥(a－b)，求x的值；(2)若2a＋b与a－b的夹角是锐角，求x的取值范围．【解】(1)∵a＝(1,2)，b＝(x,1)，∴2a＋b＝(2＋x,5)，a－b＝(1－x,1)．由(2a＋b)∥(a－b)可知2＋x＝5－5x.解得x＝.(2)由题意可知(2a＋b)·(a－b)＞0且2a＋b与a－b不共线，∴∴＜x＜且x≠.即所求x的取值范围是∪.11．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6,0)，C(1，)，点M满足OM＝OA，点P在线段BC上运动(包括端点)，如图．图4－3－1(1)求∠OCM的余弦值；(2)是否存在实数λ，使(OA－λOP)⊥CM，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．【解】(1)由题意可得OA＝(6,0)，OC＝(1，)，OM＝OA＝(3,0)，CM＝(2，－)，CO＝(－1，－)．∴cos∠OCM＝cos〈CO，CM〉＝＝.(2)设P(t，)，其中1≤t≤5，λOP＝(λt，λ)，OA－λOP＝(6－λt，－λ)，CM＝(2，－)，若(OA－λOP)⊥CM，则(OA－λOP)·CM＝0，即12－2λt＋3λ＝0⇒(2t－3)λ＝12，若t＝，则λ不存在，若t≠，则λ＝，∵t∈∪，故λ∈(－∞，－12)∪.12．(13分)已知点A(1,0)，B(0,1)，C(2sinθ，cosθ)．(1)若|AC|＝|BC|，求的值；(2)若(OA＋2OB)·OC＝1，其中O为坐标原点，求sinθ·cosθ的值．【解】∵A(1,0)，B(0,1)，C(2sinθ，cosθ)，∴AC＝(2sinθ－1，cosθ)，BC＝(2sinθ，cosθ－1)．(1)|AC|＝|BC|，∴＝，化简得2sinθ＝cosθ，所以tanθ＝，∴＝＝＝－5.(2)OA＝(1,0)，OB＝(0,1)，OC＝(2sinθ，cosθ)，∴OA＋2OB＝(1,2)，∵(OA＋2OB)·OC＝1，∴2sinθ＋2cosθ＝1.∴(sinθ＋cosθ)2＝，∴1＋2sinθcosθ＝，∴sinθ·cosθ＝－.
