贾春彦《等比数列的前n项和》课件VIP专享VIP免费

2.5等比数列的前n项和（一）相减(1–q)Sn=a1-a1qn=a1(1–qn)∴当1–q≠0,即q≠1时，Sna1(1–qn)1-q=当q=1时，Sn=na1错项相减法：Sn=a1+a1q+a1q2+···+a1qn-1qSn=a1q+a1q2+···+a1qn-1+a1qn等比数列｛an｝前n项和公式为当q≠1时Sna1(1–qn)1-q=当q＝1时Sn=na1=a1-anq1-q问题：等比数列｛an｝，如果已知a1,q,n怎样表示Sn?Sn=a1+a2+···+an解：=a1+a1q+a1q2+···+a1qn-1=a1(1+q+q2+···+qn-1)方法二：Sn=a1+a2+···+an=a1+a1q+a1q2+···+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+···+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn–an)∴(1–q)Sn=a1–qan∴当q≠1时Sna1(1–qn)1-q==a1-anq1-q当q＝1时Sn=na1方法三：∵21aa32aa1nnaqa…23121nnaaaqaaa1nnnsaqsa∴当q≠1时Sna1(1–qn)1-q==a1-anq1-q当q＝1时Sn=na1例1：（1）1＋2＋4＋…＋263＝（2）1－2＋4＋…＋(－2)n-1=（3）等比数列{an}中，a1=8,q=,an=,则Sn=1212（4）等比数列{an}中，a1=2，S3=26,则q=264-11–(-2)n3312-4或3特别提示：等比数列的前n项和的公式及通项公式涉及五个量：a1，q，n，an，Sn，只要知道其中任意三个量，都可以通过建立方程(组)等手段求出其余两个量，俗称“知三求二”．例2：求数列：1,2x,3x2,…，nxn-1,…（x≠0)的前n项和解：当x=1时Sn=1+2+3+…+n=n(n+1)2当x≠1时Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1xSn=x+2x2+…+(n-1)xn-1+nxn错项相减(1–x)Sn=1+x+x2+…+xn-1-nxn=1-xn1-x-nxn∴Sn=1-xn(1-x)2-nxn1-x=(1–x)21–(1+n)xn+xn+1综上所述：当x=1时Sn=n(n+1)2当x≠1时Sn=(1–x)21–(1+n)xn+xn+1特别提示：在应用公式求和时，应注意到公式的使用条件为q≠1，当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1.在解含字母参数的等比数列求和问题时，应分别讨论q≠1与q＝1两种情况．课堂总结1．等比数列的前n项和公式分两类，一类是当公比q＝1时，其公式为Sn＝na1；另一类是当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q2．在等比数列中的五个量Sn，n，a1，q，an中，由前n项和公式结合通项公式，知道三个量便可求其余的两个量，同时还可以利用前n项和公式解与之有关的实际问题．3．错位相减法是数列求和的重要方法，必须理解数列特征及掌握求和方法．【课后作业】1.习题2.51.2.3.4；2、若数列前n项和满足的形式，则是等比数列吗？na),1(nnqmS)0,1,0(qqmna3、思考：若等差数列首项为，公差为；等比数列首项为，公比为.数列满足，试求前n项和.na1adnb1bqncnnnbacnc