2.5等比数列的前n项和(一)相减(1–q)Sn=a1-a1qn=a1(1–qn)∴当1–q≠0,即q≠1时,Sna1(1–qn)1-q=当q=1时,Sn=na1错项相减法:Sn=a1+a1q+a1q2+···+a1qn-1qSn=a1q+a1q2+···+a1qn-1+a1qn等比数列{an}前n项和公式为当q≠1时Sna1(1–qn)1-q=当q=1时Sn=na1=a1-anq1-q问题:等比数列{an},如果已知a1,q,n怎样表示Sn?Sn=a1+a2+···+an解:=a1+a1q+a1q2+···+a1qn-1=a1(1+q+q2+···+qn-1)方法二:Sn=a1+a2+···+an=a1+a1q+a1q2+···+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+···+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn–an)∴(1–q)Sn=a1–qan∴当q≠1时Sna1(1–qn)1-q==a1-anq1-q当q=1时Sn=na1方法三:∵21aa32aa1nnaqa…23121nnaaaqaaa1nnnsaqsa∴当q≠1时Sna1(1–qn)1-q==a1-anq1-q当q=1时Sn=na1例1:(1)1+2+4+…+263=(2)1-2+4+…+(-2)n-1=(3)等比数列{an}中,a1=8,q=,an=,则Sn=1212(4)等比数列{an}中,a1=2,S3=26,则q=264-11–(-2)n3312-4或3特别提示:等比数列的前n项和的公式及通项公式涉及五个量:a1,q,n,an,Sn,只要知道其中任意三个量,都可以通过建立方程(组)等手段求出其余两个量,俗称“知三求二”.例2:求数列:1,2x,3x2,…,nxn-1,…(x≠0)的前n项和解:当x=1时Sn=1+2+3+…+n=n(n+1)2当x≠1时Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1xSn=x+2x2+…+(n-1)xn-1+nxn错项相减(1–x)Sn=1+x+x2+…+xn-1-nxn=1-xn1-x-nxn∴Sn=1-xn(1-x)2-nxn1-x=(1–x)21–(1+n)xn+xn+1综上所述:当x=1时Sn=n(n+1)2当x≠1时Sn=(1–x)21–(1+n)xn+xn+1特别提示:在应用公式求和时,应注意到公式的使用条件为q≠1,当q=1时应按常数列求和,即Sn=na1.在解含字母参数的等比数列求和问题时,应分别讨论q≠1与q=1两种情况.课堂总结1.等比数列的前n项和公式分两类,一类是当公比q=1时,其公式为Sn=na1;另一类是当q≠1时,Sn=a11-qn1-q=a1-anq1-q2.在等比数列中的五个量Sn,n,a1,q,an中,由前n项和公式结合通项公式,知道三个量便可求其余的两个量,同时还可以利用前n项和公式解与之有关的实际问题.3.错位相减法是数列求和的重要方法,必须理解数列特征及掌握求和方法.【课后作业】1.习题2.51.2.3.4;2、若数列前n项和满足的形式,则是等比数列吗?na),1(nnqmS)0,1,0(qqmna3、思考:若等差数列首项为,公差为;等比数列首项为,公比为.数列满足,试求前n项和.na1adnb1bqncnnnbacnc