抛物线方程及性质的应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·郑州高二检测)过点(-1,0)且与抛物线y2=x有且仅有一个公共点的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】选C.点(-1,0)在抛物线y2=x的外部,故过(-1,0)且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有三条,其中两条为切线,一条为x轴.【延伸探究】若把本题中的点(-1,0)改为(1,1),则此时与y2=x只有一个公共点的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】选B.因为点(1,1)在抛物线y2=x上,所以作与y2=x只有一个公共点的直线有两条,其中一条为切线,一条为平行于x轴的直线.2.过点(1,0)作斜率为-2的直线,与抛物线y2=8x交于A,B两点,则弦AB的长为()A.2B.2C.2D.2【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意知AB的方程为y=-2(x-1),即y=-2x+2.由得x2-4x+1=0,所以x1+x2=4,x1x2=1.所以|AB|====2.3.(2016·福州高二检测)若抛物线y2=x上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+b对称,且y1y2=-1,则实数b的值为()A.-3B.3C.2D.-2【解析】选D.因为抛物线y2=x上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+b对称,所以=-1,所以=-1,所以y1+y2=-1.因为y1y2=-1,所以x1+x2=+=(y1+y2)2-2y1y2=3,1所以两点A(x1,y1),B(x2,y2)中点坐标为.代入y=x+b,可得b=-2.4.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得:①-②得(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2).又因为y1+y2=4,所以===k=1,所以p=2所以所求抛物线的准线方程为x=-1.5.(2016·西安高二检测)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过点F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()A.y=x-1或y=-x+1B.y=(x-1)或y=-(x-1)C.y=(x-1)或y=-(x-1)D.y=(x-1)或y=-(x-1)【解析】选C.由题意,可设|BF|=x,则|AF|=3x,设直线l与抛物线的准线相交于点M,则由抛物线的定义可知:=,所以|MB|=2x,所以直线l的倾斜角为60°或120°,即直线l的斜率为±.【误区警示】本题容易将倾斜角当作45°而错选A.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·临沂高二检测)直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k=.【解析】当k=0时,直线与抛物线有唯一交点,当k≠0时,联立方程消y得:k2x2+4(k-2)x+4=0,由题意Δ=16(k-2)2-16k2=0,解得k=1.答案:0或127.(2016·广州高二检测)在抛物线y=4x2上求一点,使该点到直线y=4x-5的距离最短,则该点的坐标是.【解析】设与直线y=4x-5平行的直线为y=4x-b,代入y=4x2得4x2-4x+b=0.令Δ=16-16b=0,解得b=1,所以与直线y=4x-5平行的直线为y=4x-1,所以直线y=4x-1与抛物线相切,切点到y=4x-5的距离最短.由4x2-4x+1=0,解得x=,所以y=1,所求点为.答案:8.(2016·长春高二检测)抛物线焦点在y轴上,截得直线y=x+1的弦长为5,则抛物线的标准方程为.【解题指南】设出抛物线的方程利用弦长公式求解.【解析】设抛物线方程为x2=my,联立抛物线方程与直线y=x+1的方程并消元,得:2x2-mx-2m=0,设直线y=x+1与抛物线的交点坐标为(x1,y1),(x2,y2),Δ=(-m)2-4×2×(-2m)=m2+16m>0,解得m>0或m<-16.所以x1+x2=,x1x2=-m,所以5=,把x1+x2=,x1x2=-m代入解得m=4或-20,所以抛物线的标准方程为x2=4y或x2=-20y.答案:x2=4y或x2=-20y三、解答题(每小题10分,共20分)9.(1)设抛物线y2=4x被直线y=2x+k截得的弦长为3,求k的值.(2)以(1)中的弦为底边,以x轴上的点P为顶点作三角形,当三角形的面积为9时,求P点坐标.3【解析】(1)由得4x2+(4k-4)x+k2=0,设直线与抛物线交于A(x1,y1)与B(x2,y2)两点.当Δ=(4k-4)2-4×4k2>0,即k<时,x1+x2=1-k,x1x2=,所以|AB|====.因为|AB|=3,所以=3,解得k=-4.(2)因为三角形的面积为9,底边长为3,所以三角形高h==.因为点P在x轴上,所以设P点坐标是(x0,0),则点P到直线y=2x-4的距离就等于h,所以h==,解得x0=-1或5.所以P点坐标为(-1,0)或(5,0).10.已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点.(1)求证:OA⊥OB.(2)当△OAB的面积等于时,求k的值.【解析】(1)如图所示,由消去x得,ky2+y-k=0.4设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得y1y2=-1,y1+y2=-.因为A,B在抛物线y2=-x上,所以=-x1,=-x2,所以·=x1x2.因为kOA·kOB=·===-1,所以OA⊥OB.(2)设直线与x轴交...
