第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、选择题1.已知命题p：存在n∈N,2n>1000，则非p为()A．任意n∈N,2n≤1000B．任意n∈N,2n>1000C．存在n∈N,2n≤1000D．存在n∈N,2n<1000解析特称命题的否定是全称命题，即p：存在x∈M，p(x)，则非p：任意x∈M，非p(x)．答案A2．ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是()．A．0＜a≤1B．a＜1C．a≤1D．0＜a≤1或a＜0解析(筛选法)当a＝0时，原方程有一个负的实根，可以排除A、D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，故选C.答案C3．下列命题中的真命题是()．A．∃x∈R，使得sinx＋cosx＝B．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1C．∃x∈(－∞，0)，2x<3xD．∀x∈(0，π)，sinx>cosx解析因为sinx＋cosx＝sin≤<，故A错误；当x<0时，y＝2x的图象在y＝3x的图象上方，故C错误；因为x∈时有sinx0，解得b<0或b>.答案(－∞，0)∪9．若“∀x∈R，(a－2)x＋1>0”是真命题，则实数a的取值集合是________．解析“∀x∈R，(a－2)x＋1>0”是真命题，等价于(a－2)x＋1>0的解集为R，所以a－2＝0，所以a＝2.答案{2}10．已知命题p：“∃x∈R且x>0，x>”，命题p的否定为命题q，则q是“____________”；q的真假为________．(选填“真”或“假”)答案∀x∈R＋，x≤假11．命题“∃x0∈R,2x－3ax0＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为________．解析题目中的命题为假命题，则它的否定“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，只需Δ＝9a2－4×2×9≤0，即可解得－2≤a≤2.答案[－2，2]12．令p(x)：ax2＋2x＋a＞0，若对任意x∈R，p(x)是真命题，则实数a的取值范围是________．解析 对任意x∈R，p(x)是真命题．∴对任意x∈R，ax2＋2x＋a＞0恒成立，当a＝0时，不等式为2x＞0不恒成立，当a≠0时，若不等式恒成立，则∴a＞1.答案a＞113．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，由题意知得－8≤a＜0.综上，－8≤a≤0.答案[－8,0]三、解答题14.写出下列命题的否定，并判断真假.(1)q:x∈R，x不是5x-12=0的根;(2)r:有些素数是奇数;(3)s:x0∈R，|x0|＞0.解(1)q:x0∈R，x0是5x-12=0的根，真命题.(2)r:每一个素数都不是奇数，假命题.(3)s:x∈R，|x|≤0，假命题.15．已知c>0，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈时，函数f(x)＝x＋>恒成立．如果“p或q”为真命题，“p且...
