第三课时利用导数证明不等式专题【选题明细表】知识点、方法题号构造法证明不等式1,2,3,4等价转化法证明不等式7,8证明与数列有关的不等式5,6基础巩固(建议用时:25分钟)1.设f(x)是R上的可导函数,且满足f'(x)>f(x),对任意的正实数a,下列不等式恒成立的是(B)(A)f(a)
eaf(0)(C)f(a)<(D)f(a)>解析:构造函数g(x)=,则g'(x)==>0,即g(x)=是增函数,而a>0,所以g(a)>g(0),即f(a)>eaf(0).故选B.2.已知x=1是函数f(x)=ax3-bx-lnx(a>0,b∈R)的一个极值点,则lna与b-1的大小关系是(B)(A)lna>b-1(B)lna0),则g'(a)=-3=,令g'(a)>0,解得0,故g(a)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减,故[g(a)]max=g()=1-ln3<0,故lnalnx2-lnx1(B)-x1(D)x2x1,故选C.4.已知函数f(x)=3x-x3,x∈R.设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点P处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x).证明:由f(x)=3x-x3,可得f'(x)=3-3x2=3(1-x2).设点P的坐标为(x0,0),则x0=,f'()=-6.曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f'()(x-),即g(x)=-6(x-).令F(x)=f(x)-g(x),则F(x)=f(x)+6(x-),所以F'(x)=f'(x)+6,由于f'(x)=3(1-x2)在(0,+∞)上单调递减,故F'(x)在(0,+∞)上单调递减.又因为F'()=0,所以当x∈(0,)时,F'(x)>0.当x∈(,+∞)时,F'(x)<0,所以F(x)在(0,)内单调递增,在(,+∞)上单调递减,所以对于任意的正实数x,都有F(x)≤F()=0.故对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x).5.若函数f(x)=ex-ax-1(a>0)在x=0处取极值.(1)求a的值,并判断该极值是函数最大值还是最小值;(2)证明1+++…+>ln(n+1)(n∈N*).(1)解:因为f'(x)=ex-a,x=0是函数的极值点,所以f'(0)=0,所以a=1.f(x)=ex-x-1,易知f'(x)=ex-1.当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,故极值f(0)是函数的最小值.(2)证明:由(1)知ex≥x+1.即ln(x+1)≤x,当且仅当x=0时,等号成立,令x=(k∈N*),则>ln(1+),即>ln,所以>ln(1+k)-lnk(k=1,2,…,n),累加得1+++…+>ln(n+1)(n∈N*).能力提升(建议用时:25分钟)6.已知函数f(x)=ln(x+1)+.(1)若x>0时,f(x)>1恒成立,求a的取值范围;(2)求证:ln(n+1)>+++…+(n∈N*).(1)解:由ln(x+1)+>1得a>(x+2)-(x+2)ln(x+1).令g(x)=(x+2)[1-ln(x+1)],则g'(x)=1-ln(x+1)-=-ln(x+1)-.当x>0时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减.所以g(x)1(x>0),所以ln(x+1)>.取x=得ln(+1)>,即ln>.所以ln+ln+ln+…+ln>+++…+,即ln(n+1)>+++…+(n∈N*).7.(2018·辽宁大连八中模拟)已知函数f(x)=ex-1+a,函数g(x)=ax+lnx,a∈R.(1)求函数y=g(x)的单调区间;(2)若不等式f(x)≥g(x)+1在[1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围;(3)若x∈(1,+∞),求证:不等式ex-1-2lnx>-x+1.(1)解:因为g(x)=ax+lnx,a∈R,所以g'(x)=a+=,当a≥0时,增区间为(0,+∞),无减区间;当a<0时,增区间为(0,-),减区间为(-,+∞).(2)解:f(x)≥g(x)+1,即ex-1-lnx+a-ax-1≥0在[1,+∞)上恒成立,设F(x)=ex-1-lnx+a-ax-1,考虑到F(1)=0,F'(x)=ex-1--a在[1,+∞)上为增函数,因为x≥1,ex-1-≥0.所以当a≤0时,F'(x)≥0.F(x)在[1,+∞)上为增函数,F(x)≥0恒成立.当a>0时,F'(1)<0,F'(x)在[1,+∞)上为增函数,x∃0∈(1,+∞),在(1,x0)上,F'(x)<0,F(x)递减,F(x)<0,这时不合题意,综上所述,a的取值范围是(-∞,0].(3)证明:要证明在[1,+∞)上,ex-1-2lnx>-x+1,只需证明(ex-1-lnx-1)+(x-lnx)>0.由(2)知当a=0时,在[1,+∞)上,ex-1-lnx-1≥0恒成立,再令G(x)=x-lnx,在[1,+∞)上,G'(x)=1-=≥0,G(x)单调递增,所以G(x)≥G(1)=1>0,即相加,得(ex-1-lnx-1)+(x-lnx)>0,所以原不等式成立.8.已知函数f(x)=xlnx+ax,a∈R,函数f(x)的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0垂直.(1)求a的值和函数f(x)的单调区间;(2)求证:ex>f'(x).(1)解:由题易知,f'(x)=lnx+1+a,x>0,且f(x)的图象在x=1处的切线的斜率k=2,所以f'(1)=ln1+1+a=2,所以a=1.所以f'(x)=lnx+2,当x>e-2时,f'(x)>0,当00,因为g'(x)=ex-在(0,+∞)上单调递增,且g'(1)=e-1>0,g'()=-2<0,所以g'(x)在(,1)上存在唯一的零点t,即g'(t)=et-=0,即et=(t时,g'(x)>g'(t)=0,所以g(x)在(0,t)上单调递减,在(t,+∞)上单调递增,所以x>0时,g(x)≥g(t)=et-lnt-2=-ln-2=t+-2≥2-2=0,又0,即ex>f'(x).
