第三课时利用导数证明不等式专题【选题明细表】知识点、方法题号构造法证明不等式1,2,3,4等价转化法证明不等式7,8证明与数列有关的不等式5,6基础巩固(建议用时:25分钟)1
设f(x)是R上的可导函数,且满足f'(x)>f(x),对任意的正实数a,下列不等式恒成立的是(B)(A)f(a)eaf(0)(C)f(a)解析:构造函数g(x)=,则g'(x)==>0,即g(x)=是增函数,而a>0,所以g(a)>g(0),即f(a)>eaf(0)
已知x=1是函数f(x)=ax3-bx-lnx(a>0,b∈R)的一个极值点,则lna与b-1的大小关系是(B)(A)lna>b-1(B)lna0),则g'(a)=-3=,令g'(a)>0,解得0ln,所以>ln(1+k)-lnk(k=1,2,…,n),累加得1+++…+>ln(n+1)(n∈N*)
能力提升(建议用时:25分钟)6
已知函数f(x)=ln(x+1)+
(1)若x>0时,f(x)>1恒成立,求a的取值范围;(2)求证:ln(n+1)>+++…+(n∈N*)
(1)解:由ln(x+1)+>1得a>(x+2)-(x+2)ln(x+1)
令g(x)=(x+2)[1-ln(x+1)],则g'(x)=1-ln(x+1)-=-ln(x+1)-
当x>0时,g'(x)0),所以ln(x+1)>
取x=得ln(+1)>,即ln>
所以ln+ln+ln+…+ln>+++…+,即ln(n+1)>+++…+(n∈N*)
(2018·辽宁大连八中模拟)已知函数f(x)=ex-1+a,函数g(x)=ax+lnx,a∈R
(1)求函数y=g(x)的单调区间;(2)若不等式f(x)≥g(x)+1在[1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围;(3)若x∈(1,+∞),求证:不等式ex-1-2lnx>-x+1
(1)解:因为g(x)=ax
