专题二解三角形1．(2014年广东)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知bcosC＋ccosB＝2b，则＝________.2．(2014年天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．3．已知△ABC的面积S＝，A＝，则AB·AC＝________.4．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积的最大值为____________．5．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝()A．5B.C．2D．16．(2014年福建)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．7．(2015年安徽合肥二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且b＝2，c＝2.(1)若A＝，求a；(2)若C＝＋A，求角A.8．(2015年北京朝阳区一模)在△ABC中，A＝，cosB＝，BC＝6.(1)求AC的长；(2)求△ABC的面积．9.如图Z21，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.图Z2110．如图Z22，隔河看两目标A，B但不能到达，在岸边选取相距km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D四点在同一平面内)，求A，B之间的距离．图Z22专题二解三角形1．2解析：由正弦定理，将bcosC＋ccosB＝2b化简，得sinBcosC＋sinCcosB＝2sinB，即sin(B＋C)＝2sinB.∵sin(B＋C)＝sinA，∴sinA＝2sinB，利用正弦定理化简，得a＝2b，故＝2.2．－解析：∵2sinB＝3sinC，∴2b＝3c.又∵b－c＝，∴a＝2c，b＝c.∴cosA＝＝＝－.3．2解析：S△ABC＝·|AB|·|AC|·sinA，即＝·|AB|·|AC|·.所以|AB|·|AC|＝4.于是AB·AC＝|AB|·|AC|·cosA＝4×＝2.4.解析：∵＝＝＝2R，a＝2，又(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC可化为(a＋b)(a－b)＝(c－b)·c，∴a2－b2＝c2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.∴＝＝＝cosA.∴∠A＝60°.∵△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos60°＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(“＝”当且仅当b＝c时取得)，∴S△ABC＝·bc·sinA≤×4×＝.5．B解析：∵S＝AB·BCsinB＝×1×sinB＝，∴sinB＝，∴B＝或.当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2＋2＝5，∴AC＝，此时△ABC为钝角三角形，符合题意；当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2－2＝1，∴AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意．故AC＝.6．2解析：由＝，得sinB＝＝1.∴B＝90°，C＝180°－(A＋B)＝30°.则S△ABC＝·AC·BCsinC＝×4×2sin30°＝2，即△ABC的面积等于2.7．解：(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝22＋(2)2－2×2×2cos＝28.解得a＝2.(2)∵C＝＋A，∴B＝π－－A＝－2A.由正弦定理，得＝.∴＝，∴cos2A＝cosA，cosA＝(2cos2A－1)，解得cosA＝或－.∵A为锐角，∴cosA＝，A＝.8．(1)因为cosB＝，B∈(0，π)，又sin2B＋cos2B＝1，所以sinB＝.由正弦定理，得＝，即＝.所以AC＝4.(2)在△ABC中，sinC＝sin(B＋60°)＝sinBcos60°＋cosBsin60°＝sinB＋cosB＝×＋×＝.所以S△ABC＝AC·BCsinC＝×4×6×＝2＋6.9．解：(1)由已知，得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理，得PA2＝3＋－2××cos30°＝，故PA＝.(2)设∠PBA＝α，有∠BCP＝α，由已知，得PB＝sinα.在△PBA中，由正弦定理，得＝，化简，得cosα＝4sinα，所以tanα＝，即tan∠PBA＝.10．解：在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°.∴AC＝CD＝.在△BCD中，∵∠CBD＝180°－45°－75°＝60°.由正弦定理，得BC＝＝.由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA.∴AB2＝()2＋2－2××cos75°＝5.∴AB＝km.故A，B之间的距离为km.
