2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.2离散型随机变量的方差A级基础巩固一、选择题1．已知随机变量ξ满足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为()A．0.6和0.7B．1.7和0.09C．0.3和0.7D．1.7和0.21解析：E(ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D(ξ)＝(1.7－1)2×0.3＋(1.7－2)2×0.7＝0.21.答案：D2．已知随机变量X～B(100，0.2)，那么D(4X＋3)的值为()A．64B．256C．259D．320解析：由X～B(100，0.2)知n＝100，p＝0.2，由公式得D(X)＝100×0.2×0.8＝16，因此D(4X＋3)＝42D(X)＝16×16＝256.答案：B3．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下表．其中射击比较稳定的运动员是()环数k8910P(ξ＝k)0.30.20.5P(η＝k)0.20.40.4A.甲B．乙C．一样D．无法比较解析：E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2，所以E(η)＝E(ξ)，D(ξ)＝0.76，D(η)＝0.56＜D(ξ)，所以乙稳定．答案：B4．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B(10，0.6)，则E(η)和D(η)的值分别是()A．6和2.4B．2和2.4C．2和5.6D．6和5.6解析：由已知E(ξ)＝10×0.6＝6，D(ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4.因为ξ＋η＝8，所以η＝8－ξ.所以E(η)＝－E(ξ)＋8＝2，D(η)＝(－1)2D(ξ)＝2.4.答案：B5．已知p，q∈R，X～B(5，p)．若E(X)＝2，则D(2X＋q)的值为()A．2.4B．4.8C．2.4＋qD．4.8＋q解析：因为X～B(5，p)，所以E(X)＝5p＝2，所以p＝，D(X)＝5××＝，所以D(2X＋q)＝4D(X)＝4×＝4.8，故选B.1答案：B二、填空题6．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________．解析：在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5.答案：0.57．已知X的分布列为：X－101P若η＝2X＋2，则D(η)的值为________．解析：E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，D(X)＝，D(η)＝D(2X＋2)＝4D(X)＝.答案：8．随机变量X的分布列如下表：X012Pxyz其中x，y，z成等差数列，若E(X)＝，则D(X)的值是________．解析：E(X)＝0×x＋1×y＋2×z＝y＋2z＝，又x＋y＋z＝1，且2y＝x＋z，解得x＝，y＝，z＝0，所以D(X)＝×＋×＋×0＝.答案：三、解答题9．袋中有大小相同的小球6个，其中红球2个、黄球4个，规定取1个红球得2分，1个黄球得1分．从袋中任取3个小球，记所取3个小球的得分之和为X，求随机变量X的分布列、均值和方差．解：由题意可知，X的所有可能的取值为5，4，3.P(X＝5)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝3)＝＝，故X的分布列为：X543PE(X)＝5×＋4×＋3×＝4，D(X)＝(5－4)2×＋(4－4)2×＋(3－4)2×＝.10．每人在一轮投篮练习中最多可投篮4次，现规定一旦命中即停止该轮练习，否则一直试投到4次为止．已知一选手的投篮命中率为0.7，求一轮练习中该选手的实际投篮次数ξ的分布列，并求出ξ的期望E(ξ)与方差E(ξ)(保留3位有效数字)．解：ξ的取值为1，2，3，4.若ξ＝1，表示第一次即投中，故P(ξ＝1)＝0.7；若ξ＝2，表示第一次未投中，第二次投中，故P(ξ＝2)＝(1－0.7)×0.7＝0.21；若ξ＝3，表示第一、二次未投中，第三次投中，故P(ξ＝3)＝(1－0.7)2×0.7＝0.063；若ξ＝4，表示前三次未投中，故P(ξ＝4)＝(1－0.7)3＝0.027.因此ξ的分布列为：ξ12342P0.70.210.0630.027E(ξ)＝1×0.7＋2×0.21＋3×0.063＋4×0.027＝1.417.D(ξ)＝(1－1.417)2×0.7＋(2－1.417)2×0.21＋(3－1.417)2×0.063＋(4－1.417)2×0.027＝0.513.B级能力提升1．若ξ是离散型随机变量，P(ξ＝X1)＝，P(ξ＝X2)＝，且X1＜X2，又已知E(ξ)＝，D(ξ)＝，则X1＋X2的值为()A.B.C．3D.解析：X1，X2满足解得或因为X1＜X2，所以X1＝1，X2＝2，所以X1＋X2＝3.答案：C2．抛掷一枚均匀硬币n(3≤n≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B，若P(ξ＝1)＝，则方差D(ξ)＝________．解析：因为3≤n≤8，ξ服从二项分布B，且P(ξ＝1)＝，所以C··＝，即n＝，解得n＝6，所以方差D(ξ)＝np(1－p)＝6××＝.答案：3．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，...
