第一章推理与证明一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含二个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；…；试观察每组内各数之和与其组的编号数n有什么关系()A．等于n2B．等于n3C．等于n4D．等于n(n＋1)解析：第一组内各数之和为1，第二组内各数之和为3＋5＝8＝23，第3组内各数之和为7＋9＋11＝27＝33，由此猜想：第n组内各数之和为n3.答案：B2．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.共中结论正确的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：①②错误，③正确．答案：B3．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是()A．假设至少有一个钝角B．假设至少有两个钝角C．假设没有一个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角解析：用反证法对命题的假设就是对命题的否定，“至多有一个”的否定是“至少有两个”，故选B.答案：B4．实数a，b，c不全为0等价于()A．a，b，c全不为0B．a，b，c中最多只有一个为0C．a，b，c中只有一个不为0D．a，b，c中至少有一个不为0解析：“不全为0”等价于“至少有一个不为0”．答案：D5．将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行的从左至右的第3个数是()1A.B.C.D.解析：第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，第n－1行n－1个数∴1＋2＋…＋(n－1)＝，∴第n行的第3个数为＋3＝.答案：A6．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N＋都成立，那么a、b、c的值为()A．a＝，b＝c＝B．a＝b＝c＝C．a＝0，b＝c＝D．不存在这样的a、b、c解析： 已知等式对一切n∈N＋都成立，∴当n＝1,2,3时也成立．即解得答案：A7．用数学归纳法证明恒等式：1＋2＋3＋…＋n2＝，则由n＝k到n＝k＋1时，等式左端应添加的项是()A．k2＋1B．(k＋1)2C．[(k＋1)＋1]2D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2解析：n＝k时，左端为1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时，左端为1＋2＋3…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.两式相减，可知等式左端应添加的项是(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.故选D.答案：D8．已知x∈R＋，不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，可推广为x＋≥n＋1，则a的值为()A．2nB．n2C．22(n－1)D．nn解析：观察a与n＋1的关系：1→2,4→3,27→4，即(2－1)1→2，(3－1)2→3，(4－1)3→4，故(n＋1－1)n→n＋1，所以a＝nn.答案：D9．数列{an}中，若a1＝，an＝(n≥2，n∈N)，则a2009的值为()A．－1B.C．1D．2解析： an＝，又a1＝，∴a2＝＝2.a3＝＝－1.a4＝＝a1＝.∴数列{an}的项是周期性出现，周期为3.∴a2009＝a669×3＋2＝a2＝2.答案：D10．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出2f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是()A．若f(1)＜1成立，则f(10)＜100成立B．若f(2)＜4成立，则f(1)≥1成立C．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立D．若f(4)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立解析：题设中“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．实际上是给出了一个递推关系，从数学归纳法来考虑， f(4)≥25成立，∴f(4)≥16成立，即k的基础值为4，所以A、B、C都错误，故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．在等差数列{an}中，有Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd，其中Sm，Sn，Sm＋n，分别是{an}的前m，n，m＋n项和，用类比推理的方法，在等比数列{bn}中，有__________________．解析：由等差数列到等比数列的运算性质：“和积”，“积乘方”可猜测在等比数↔↔列中有Am＋n＝Am·An·qmn，事实上，设公比为q，An为前n项积，则有Am＋n＝b1·b2·b3·…·bm＋n＝b1·b1q·b1q2·…·b1qm＋n－1＝b·q1＋2＋…＋(m＋n－1)＝bq又Am·An·qmn＝(b1·b2·…·bm)·(b1·b2·…·...
