阶段综合测评(一)(时间90分钟，满分120分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1．极坐标为M，N，P，Q的四点中，与点A表示同一点的有________个．【答案】32．已知点P的直角坐标为(－，3)，其极坐标为________．【答案】(2，)3．曲线的极坐标方程ρ＝－4sinθ化成直角坐标方程为________．【答案】x2＋(y＋2)2＝44．在极坐标系中，曲线ρ＝－4sinθ和ρcosθ＝1相交于点A、B，则AB＝________.【解析】平面直角坐标系中，曲线ρ＝－4sinθ和ρcosθ＝1分别表示圆x2＋(y＋2)2＝4和直线x＝1，作图易知AB＝2.【答案】25．极坐标方程ρ＝表示的曲线是______．【答案】椭圆6．以(1，π)为圆心，且过极点的圆的极坐标方程是________．【答案】ρ＝－2cosθ7．(北京高考)在极坐标系中，点到直线ρsinθ＝2的距离等于________．【解析】极坐标系中点对应的直角坐标为(，1)．极坐标系中直线ρsinθ＝2对应直角坐标系中直线y＝2.故所求距离为1.【答案】18．已知点M的柱坐标为，则点M的直角坐标为________，球坐标为________．【解析】设点M的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，由得由得即所以点M的直角坐标为(－，，)，球坐标为(，，)．【答案】(－，π，π)(π，，π)9．在极坐标系中，曲线ρ＝2cosθ和ρcosθ＝2的位置关系是________．【答案】相切10．极坐标方程sinθ＝－表示的曲线是______．【答案】两条直线11．(天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝________.【解析】由ρ＝4cosθ可得x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，因此圆心C的直角坐标为(2,0)．又点P的直角坐标为(2,2)，因此|CP|＝2.【答案】212．(湖南高考)在极坐标系中，曲线C1：ρ(cosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a＝________.【解析】ρ(cosθ＋sinθ)＝1，即ρcosθ＋ρsinθ＝1对应的普通方程为x＋y－1＝0，ρ＝a(a>0)对应的普通方程为x2＋y2＝a2.在x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝.将(，10)代入x2＋y2＝a2得a＝.【答案】13．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换后曲线C变为曲线2x′2＋8y′2＝1，则曲线C的方程为________．【解析】将代入2x′2＋8y′2＝1，得：2·(5x)2＋8·(3y)2＝1，即50x2＋72y2＝1.【答案】50x2＋72y2＝114．已知圆的极坐标方程ρ＝2cosθ，直线的极坐标方程为ρcosθ－2ρsinθ＋7＝0，则圆心到直线的距离为________．【解析】将ρ＝2cosθ化为ρ2＝2ρcosθ，即有x2＋y2－2x＝0，亦即(x－1)2＋y2＝1.将ρcosθ－2ρsinθ＋7＝0化为x－2y＋7＝0，故圆心到直线的距离d＝＝.【答案】二、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)在极坐标系中，点M坐标是，曲线C的方程为ρ＝2sin；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l经过点M和极点．(1)写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；(2)直线l和曲线C相交于两点A、B，求线段AB的长．【导学号：98990025】【解】(1)∵直线l过点M(2，)和极点，∴直线l的极坐标方程是θ＝(ρ∈R)．ρ＝2sin(θ＋)即ρ＝2(sinθ＋cosθ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsinθ＋ρcosθ)，∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y＝0.(2)点M的直角坐标为(1，)，直线l过点M和原点，∴直线l的直角坐标方程为y＝x.曲线C的圆心坐标为(1,1)，半径r＝，圆心到直线l的距离为d＝，∴AB＝＋2.16．(本小题满分12分)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，求曲线C的方程并判断其形状．【解】将代入(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，得(2x－5)2＋(2y＋6)2＝1.化简，得(x－)2＋(y＋3)2＝.该曲线是以(，－3)为圆心，半径为的圆．17．(本小题满分13分)过抛物线y2＝2px(p>0)的顶点O，作两垂直的弦OA、OB，求△AOB面积的最小值．【解】取O为极点，Ox轴为极轴，建立极坐标系，将抛物线方程化成极坐标方程，有ρ2sin2θ＝2pρcosθ，设点B的极坐标为(ρ1，θ)，因为OA⊥OB，所以A的极坐标为(ρ2，＋θ)．所以ρ1＝，ρ2＝.所以S△AOB＝OA·OB＝＝＝≥4p2，2当θ＝时取到等号，因此△AOB的面积的最小值为4p2.18．(本小题满分13分)过曲线ρ＝的右焦点作一倾斜角为60°的直线l，求l被曲线截得的弦长．【解】设直线与曲线的两个交点分别为A，B.设A(ρ1，θ)，则B(ρ2，π＋θ)．弦长AB＝|ρ1＋ρ2|＝|＋|＝|＋|＝||＝||＝.3
