高考数学（四海八荒易错集）专题17 坐标系与参数方程 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

专题17坐标系与参数方程1．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A、B两点，|AB|＝，求l的斜率．解(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．2．已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ·sin－4＝0，求圆C的半径．解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为.3．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若极坐标方程为ρcosθ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，求AB的长．解极坐标方程ρcosθ＝4的普通方程为x＝4，代入得t＝±2，当t＝2时，y＝8；当t＝－2时，y＝－8.两个交点坐标分别为(4,8)，(4，－8)，从而AB＝16.4．在直角坐标系中圆C的参数方程为(α为参数)，若以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程．解由参数方程消去α得圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入得(ρcosθ)2＋(ρsinθ－2)2＝4，整理得ρ＝4sinθ.5．已知曲线C：(θ为参数)，直线l：ρ(cosθ－sinθ)＝12.(1)将直线l的极坐标方程和曲线C的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；(2)设点P在曲线C上，求P点到直线l的距离的最小值．易错起源1、极坐标与直角坐标的互化例1、在极坐标系中，曲线C1：ρ(cosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，求a的值．解ρ(cosθ＋sinθ)＝1，即ρcosθ＋ρsinθ＝1对应的普通方程为x＋y－1＝0，ρ＝a(a>0)对应的普通方程为x2＋y2＝a2.在x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝.将代入x2＋y2＝a2得a＝.【变式探究】在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是ρcos(θ＋)＝3和ρsin2θ＝8cosθ，直线l与曲线C交于点A、B，求线段AB的长．解 ρcos(θ＋)＝ρcosθcos－ρsinθsin＝ρcosθ－ρsinθ＝3，∴直线l对应的直角坐标方程为x－y＝6.又 ρsin2θ＝8cosθ，∴ρ2sin2θ＝8ρcosθ.∴曲线C对应的直角坐标方程是y2＝8x.【名师点睛】(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．【锦囊妙计，战胜自我】直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则，.易错起源2、参数方程与普通方程的互化例2、在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsin＝m(m∈R)．(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．【变式探究】已知直线l的参数方程为(t为参数)，P是椭圆＋y2＝1上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．解由于直线l的参数方程为(t为参数)，故直线l的普通方程为x＋2y＝0.因为P为椭圆＋y2＝1上的任意一点，故可设P(2cosθ，sinθ)，其中θ∈R.因此点P到直线l的距离是d＝＝.所以当θ＝kπ＋，k∈Z时，d取得最大值.【名师点睛】(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法，加减消参法，平方消参法等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x、y有范围限制，要标出x、y的取值范围．【锦囊妙计，战胜自我】1．直线的参数方程过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．2．圆的参数方程圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π)．3．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆...