8.6利用空间向量证明空间中的位置关系核心考点·精准研析考点一利用空间向量证明空间的平行问题1.若点A(1,-2,3)和点B(2,5,6)在直线l上,则直线l的一个方向向量是()A.(1,-2,3)B.(2,5,6)C.(1,7,3)D.(-1,-7,3)2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A.相交B.平行C.垂直D.不能确定3.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则M点的坐标为()A.(1,1,1)B.,,1C.,,1D.,,14.平面α的法向量u=(x,1,-2),平面β的法向量v=-1,y,,已知α∥β,则x+y=________.【解析】1.选C.因为=(1,7,3),又与平行的非零向量都可以作为直线l的一个方向向量.故只有C正确.2.选B.分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.因为A1M=AN=a,所以M,N.所以=.又C1(0,0,0),D1(0,a,0),所以=(0,a,0).所以·=0.所以⊥.因为是平面BB1C1C的法向量,且MN⊄平面BB1C1C,所以MN∥平面BB1C1C.3.选C.建系如图,则A(,,0),B(0,,0),D(,0,0),E(0,0,1),设M(a,a,1),则=(a-,a-,1),可求出平面BDE的一个法向量n=(1,1,),因为AM∥平面BDE,所以·n=0,可得a=,M的坐标为,,1.4.因为α∥β,所以v∥u,所以==,所以所以x+y=.答案:1.证明线面平行的常用方法:(1)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面.(2)证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行.(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.2.证明面面平行常用的方法:(1)利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面.(2)证明两个平面的法向量平行.(3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量.【秒杀绝招】结合线面平行的性质定理解T3:设AC与BD相交于O点,连接OE,因为AM∥平面BDE,且AM⊂平面ACEF,平面ACEF∩平面BDE=OE,所以AM∥EO,又O是正方形ABCD对角线的交点,所以M为线段EF的中点.在空间直角坐标系中,E(0,0,1),F(,,1).由中点坐标公式,知点M的坐标为,,1.考点二利用空间向量证明空间的垂直问题命题精解读考什么:(1)考查利用空间向量证明线面、面面垂直问题.(2)考查直观想象与逻辑推理的核心素养.怎么考:与空间图形中与垂直有关的定理结合考查利用空间向量证明空间的垂直问题.新趋势:以柱、锥、台体为载体,与证明空间角综合命题.学霸好方法1.证明线面平行和垂直问题,可以用几何法,也可以用向量法.用向量法的关键在于构造向量,再用共线向量定理或共面向量定理及两向量垂直的判定定理.若能建立空间直角坐标系,其证法较为灵活方便.2.交汇问题:一般先证明线面、面面垂直,再求线面角或二面角.证明线面垂直【典例】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.证明:(1)AE⊥CD.(2)PD⊥平面ABE.【证明】AB,AD,AP两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,设PA=AB=BC=1,则P(0,0,1).(1)因为∠ABC=60°,所以△ABC为正三角形,所以C,,0,E,,.设D(0,y,0),由AC⊥CD,得·=0,即y=,则D0,,0,所以=-,,0.又=,,,所以·=-×+×+0=0,所以⊥,即AE⊥CD.(2)方法一:因为P(0,0,1),所以=0,,-1.又·=0+×+×(-1)=0,所以⊥,即PD⊥AE.因为=(1,0,0),所以·=0.所以PD⊥AB,又AB∩AE=A,所以PD⊥平面AEB.方法二:=(1,0,0),=,,,设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),则令y=2,则z=-,所以n=(0,2,-).因为=0,,-1,显然=n.因为∥n,所以⊥平面ABE,即PD⊥平面ABE.证明面面垂直【典例】如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)证明:AP⊥BC.(2)若点M是线段AP上一点,且AM=3.试证明平面AMC⊥平面BMC.【解析】(1)如图所示,以O为坐标原点,以射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系.则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).于是=(0,3,4),=(-8,0,0),所以·=(0,3,4)·(-8,0,0)=0,所以⊥,即AP⊥BC.(2)由(1)知AP=5,又AM=3,且点M在线段AP上,所以==0,,,又=(-8,0,0),=(-4,5,0),=(-4,-5,0),所以=+=-4,-,,则·=(0,3,4)·-4,-,=0,所以⊥,即AP⊥BM,又根据(1)的结论知AP⊥BC,且BM∩BC=B,所以AP⊥平面BMC,于是AM⊥平面BMC.又AM⊂平面AMC,故平面AMC⊥平面BMC.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,求证...
