高二数学“每周一练”系列试题（30）1．已知二次函数f（x）满足：①在x=1时有极值；②图象过点（0,-3），且在该点处的切线与直线2x+y=0平行．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=f（x2）的单调递增区间。2．已知函数f（x）＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2]上单调递减.（1）求a的值；（2）记g（x）＝bx2－1，若方程f（x）＝g（x）的解集恰有3个元素，求b的取值范围.3．已知函数f（x）＝ax＋（x≠0，常数a∈R）.（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f（x）在x∈[3，＋∞）上为增函数，求a的取值范围.4．已知函数F（x）=|2x－t|－x3+x+1（x∈R，t为常数，t∈R）（1）写出此函数F（x）在R上的单调区间；（2）若方程F（x）－m=0恰有两解，求实数m的值。用心爱心专心5．已知a是给定的实常数，设函数22()()()fxxaxbe，bR，xa是()fx的一个极大值点．（Ⅰ）求b的取值范围；（Ⅱ）设123,,xxx是()fx的3个极值点，问是否存在实数b，可找到4xR，使得1234,,,xxxx的某种排列1234,,,iiiixxxx（其中1234,,,iiii=1,2,3,4）依次成等差数列?若存在，求所有的b及相应的4x；若不存在，说明理由．参考答案1．解：⑴设f（x）=ax2+bx+c，则f（x）=2ax+b．由题设可得：,3)0(,2)0(,0)1(fff即.3,2,02cbba解得.3,2,1cba所以f（x）=x2-2x-3．用心爱心专心⑵g（x）=f（x2）=x4－2x2－3，g（x）=4x3－4x=4x（x－1）（x+1）．列表：由表可得：函数g（x）的单调递增区间为（-1,0），（1,+∞）．2．解：（1）f′（x）＝4x3－12x2＋2ax，因为f（x）在[0,1]上递增，在[1,2]上递减，所以x＝1是f（x）的极值点，所以f′（1）＝0，即4×13－12×12＋2a×1＝0.解得a＝4，经检验满足题意，所以a＝4.（2）由f（x）＝g（x）可得x2（x2－4x＋4－b）＝0，由题意知此方程有三个不相等的实数根，此时x＝0为方程的一实数根，则方程x2－4x＋4－b＝0应有两个不相等的非零实根，所以Δ>0，且4－b≠0，即（－4）2－4（4－b）>0且b≠4，解得b>0且b≠4，所以所求b的取值范围是（0,4）∪（4，＋∞）.3．解：（1）定义域（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称.当a＝0时，f（x）＝，满足对定义域上任意x，f（－x）＝f（x），∴a＝0时，f（x）是偶函数；当a≠0时，f（1）＝a＋1，f（－1）＝1－a，若f（x）为偶函数，则a＋1＝1－a，a＝0矛盾；若f（x）为奇函数，则1－a＝－（a＋1）,1＝－1矛盾，∴当a≠0时，f（x）是非奇非偶函数.（2）任取x1>x2≥3，f（x1）－f（x2）＝ax1＋－ax2－221x＝a（x1－x2）＋22212212xxxx＝（x1－x2）（a－122212xxxx）. x1－x2>0，f（x）在[3，＋∞）上为增函数，∴a>122212xxxx，即a>2121xx＋2121xx在[3，＋∞）上恒成立. 2121xx＋2121xx<，∴a≥.4．解（1）212,131|2|)(333txtxxtxtxxxxtxxF∴2,132,33)('22txxtxxxF由－3x2+3=0得x1=－1，x2=1，而－3x2－1<0恒成立∴i）当2t<－1时，F（x）在区间（－∞，－1）上是减函数在区间（－1，1）上是增函数，在区间（1，+∞）上是减函数ii）当1>2t≥－1时，F（x）在区间（－∞，2t）上是减函数用心爱心专心x（-∞,-1）-1（-1,0）0（0,1）1（1,+∞）f（x）－0+0－0+f（x）↘↗↘↗在区间（2t，1）上是增函数，在区间（1，+∞）上是减函数iii）当2t≥1时，F（x）在（－∞，+∞）上是减函数（2）由（1）可知i）当2t<－1时，F（x）在x=－1处取得极小值－1－t，在x=1处取得极大值3－t，若方程F（x）－m=0恰有两解，此时m=－1－t或m=3－tii）当－1≤2t<1，F（x）在x=2t处取值为1283tt，在x=1处取得极大值3－t，若方程F（x）－m=0恰有两解，此时m=1283tt或m=3－t5．（Ⅰ）解：f’（x）=ex（x-a）2(3)2,xabxbaba令222()(3)2,=(3-a+b)4(2)(1)80,gxxabxbabababaab则于是，假设1212,()0.xxgxxx是的两个实根，且当x1=a或x2=a时，则x=a不是f（x）的极值点，此时不合题意。当x1a且x2...
