板块命题点专练(六)三角函数的诱导公式及图象与性质命题点一同角三角函数的基本关系及诱导公式1．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝，则|a－b|＝()A．B．C．D．1解析：选B由cos2α＝，得cos2α－sin2α＝，∴＝，即＝，∴tanα＝±，即＝±，∴|a－b|＝.故选B.2．(2013·浙江高考)已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝()A.B．C．－D．－解析：选C两边平方，再同时除以cos2α，得3tan2α－8tanα－3＝0，tanα＝3或tanα＝－，代入tan2α＝，得到tan2α＝－.3．(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cosβ的值．解：(1)由角α的终边过点P，得sinα＝－.所以sin(α＋π)＝－sinα＝.(2)由角α的终边过点P，得cosα＝－.由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.由β＝(α＋β)－α，得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝－或cosβ＝.命题点二三角函数的图象与性质1．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝的最小正周期为()A.B．C．πD．2π解析：选C由已知得f(x)＝＝＝＝sinx·cosx＝sin2x，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.2．(2018·天津高考)将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数()A．在区间上单调递增B．在区间上单调递减C．在区间上单调递增D．在区间上单调递减解析：选A将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin＝sin2x的图象，则函数y＝sin2x的一个单调递增区间为，一个单调递减区间为.由此可判断选项A正确．3．(2016·全国卷Ⅱ)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则()1A．y＝2sinB．y＝2sinC．y＝2sinD．y＝2sin解析：选A由图象知＝－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又图象的一个最高点坐标为，所以A＝2，且2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin.故选A.4．(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是()A．B．C．D．π解析：选Af(x)＝cosx－sinx＝－sin，当x∈，即x－∈时，函数y＝sin单调递增，则f(x)＝－sin单调递减．∵函数f(x)在[－a，a]是减函数，∴[－a，a]⊆，∴0＜a≤，∴a的最大值是.5．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则()A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4解析：选B∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos2x－＋2＝cos2x＋，∴f(x)的最小正周期为π，最大值为4.故选B.6．(2018·江苏高考)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________．解析：由题意得f＝sin＝±1，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z.∵φ∈，∴φ＝－.答案：－7．(2016·浙江高考)已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，则A＝________，b＝________.解析：∵2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝1＋sin，∴1＋sin＝Asin(ωx＋φ)＋b，∴A＝，b＝1.2答案：18．(2018·北京高考)设函数f(x)＝cos(ω＞0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．解析：∵f(x)≤f对任意的实数x都成立，∴当x＝时，f(x)取得最大值，即f＝cos＝1，∴ω－＝2kπ，k∈Z，∴ω＝8k＋，k∈Z.∵ω＞0，∴当k＝0时，ω取得最小值.答案：9．(2017·浙江高考)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sinxcosx(x∈R)．(1)求f的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．解：(1)由题意，f(x)＝－cos2x－sin2x＝－2＝－2sin，故f＝－2sin＝－2sin＝2.(2)由(1)知f(x)＝－2sin.则f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间是，k∈Z.10．(2018·北京高考)已知函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．解：(1)因为f(x)＝sin2x＋sinxcosx＝－cos2x＋sin2x＝sin＋，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.(2)由(1)知f(x)＝sin＋.由题意知－≤x≤m，所以－≤2x－≤2m－.要使f(x)在区间上的最大值为，即sin在区间上的最大值为1，所以2m－≥，即m≥.所以m的最小值为.34
