课时分层训练(四十一)空间向量及其运算A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．在空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是()A．垂直B．平行C．异面D．相交但不垂直B[由题意得，AB＝(－3，－3,3)，CD＝(1,1，－1)，∴AB＝－3CD，∴AB与CD共线，又AB与CD没有公共点．∴AB∥CD.]2．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为()【导学号：51062243】A．－2B．－C.D．2D[由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2.]3．空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么()A.AE·BC
AE·CDD.AE·BC与AE·CD的大小不能比较C[取BD的中点F，连接EF，则EF綊CD.因为AE⊥BC，〈AE，EF〉＝〈AE，CD〉>90°.所以AE·BC＝0，AE·CD<0，因此AE·BC>AE·CD.]4．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE·AF的值为()A．a2B.a2C.a2D.a2C[如图，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.AE＝(a＋b)，AF＝c，∴AE·AF＝(a＋b)·c＝(a·c＋b·c)＝(a2cos60°＋a2cos60°)＝a2.]5．如图767，在大小为45°的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()1图767A.B.C．1D.D[∵BD＝BF＋FE＋ED，∴|BD|2＝|BF|2＋|FE|2＋|ED|2＋2BF·FE＋2FE·ED＋2BF·ED＝1＋1＋1－＝3－，故|BD|＝.]二、填空题6．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝________.－9[由题意知c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，∴解得λ＝－9.]7．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为________.【导学号：51062244】[|EF|2＝(EC＋CD＋DF)2＝EC2＋CD2＋DF2＋2(EC·CD＋EC·DF＋CD·DF)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，∴|EF|＝，∴EF的长为.]8．已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当QA·QB取最小值时，点Q的坐标是________．[由题意，设OQ＝λOP，即OQ＝(λ，λ，2λ)，则QA＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴QA·QB＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝62－，当λ＝时有最小值，此时Q点坐标为.]三、解答题9．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝AB，b＝AC.(1)若|c|＝3，且c∥BC，求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值.【导学号：51062245】[解](1)∵c∥BC，BC＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1,2)，∴c＝mBC＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)，3分∴|c|＝＝3|m|＝3，∴m＝±1.∴c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2).6分(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)．∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1.9分又∵|a|＝＝，|b|＝＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝－，故向量a与向量b的夹角的余弦值为－.15分210．(2017·舟山模拟)已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．(1)求以AB，AC为边的平行四边形的面积；(2)若|a|＝，且a分别与AB，AC垂直，求向量a的坐标．[解](1)由题意可得：AB＝(－2，－1,3)，AC＝(1，－3,2)，所以cos〈AB，AC〉＝＝＝＝.3分所以sin〈AB，AC〉＝，所以以AB，AC为边的平行四边形的面积为S＝2×|AB|·|AC|·sin〈AB，AC〉＝14×＝7.6分(2)设a＝(x，y，z)，由题意得解得或所以向量a的坐标为(1,1,1)或(－1，－1，－1).15分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，M为BC中点，则△AMD是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定C[∵M为BC中点，∴AM＝(AB＋AC)，∴AM·AD＝(AB＋AC)·AD＝AB·AD＋AC·AD＝0.∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形．]2．已知2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________．60°[由题意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10.即2a·c＋b·c＝－10.又∵a·c＝4，∴b·c＝－18，∴cos〈b，c〉＝＝＝－，∴〈b，c〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.]3．在直三棱柱ABCA′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．图768(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.【导学号：51062246】[解](1)证明：设CA＝a，CB＝b，CC′＝c，3根据题意得，|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0，∴CE＝b＋c，A′D＝－c＋b－a.3分∴CE·A′D＝－c2＋b2＝0.∴CE⊥A′D，即CE⊥A′D.6分(2)∵AC′＝－a＋c，|AC′|＝|a|，|CE|＝|a|.AC′·CE＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，∴cos〈AC′，CE〉＝＝.13分即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.15分4
