【创新大课堂】（新课标）2016高考数学一轮总复习第三章第6节正弦定理和余弦定理及应用练习一、选择题1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝()A．－B.C．－D.[解析]由正弦定理得＝，∴sinB＝＝＝.∵a>b，A＝60°，∴B为锐角，∴cosB＝＝＝.[答案]D2．(2015·辽宁五校协作联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB＋bcosA＝csinC，S＝(b2＋c2－a2)，则B等于()A．90°B．60°C．45°D．30°[解析]由正弦定理得sinAcosB＋sinBcosA＝sinCsinC，即sin(B＋A)＝sin2C，所以sinC＝1，C＝90°.根据三角形面积公式和余弦定理得S＝bcsinA，b2＋c2－a2＝2bccosA，代入已知得bcsinA＝·2bccosA，所以tanA＝1，A＝45°，因此B＝45°.[答案]C3．(2015·合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为()A.B.C．2D．2[解析]S＝×AB·ACsin60°＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，所以BC＝.[答案]B4．(2015·莆田模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝2ccosA，c＝2bcosA，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．锐角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形[解析]由正弦定理，得sinB＝2sinCcosA，sinC＝2sinBcosA，即sin(A＋C)＝2sinCcosA＝sinAcosC＋cosAsinC，即sinAcosC－cosAsinC＝0，所以sin(A－C)＝0，A＝C，同理可得A＝B，所以三角形为等边三角形.故选C.[答案]C5．△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.B.C.D.[解析]设AB＝a，则由AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB知7＝a2＋4－2a，即a2－2a－3＝0，∴a＝3(负值舍去)．∴BC边上的高为AB·sinB＝3×＝.[答案]B6．(2015·邯郸模拟)在△ABC中，A＝，BC＝3，则△ABC的周长为()A．4sin(B＋)＋3B．4sin(B＋)＋3C．6sin(B＋)＋3D．6sin(B＋)＋3[解析]由正弦定理得＝＝＝＝，则b＋c＝2[sinB＋sin(－B)]＝6sin(B＋)．故三角形的周长为：3＋b＋c＝6sin(B＋)＋3.故选D.[答案]D二、填空题7．(2015·惠州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为________．[解析]由余弦定理，得＝cosB，结合已知等式得cosB·tanB＝，∴sinB＝，∴B＝或.[答案]或8．在△ABC中，B＝60°，AC＝，则△ABC周长的最大值为________．[解析]在△ABC中，设a，b，c分别是△ABC的三个角A，B，C的对边．由余弦定理得()2＝a2＋c2－2accos60°＝a2＋c2－ac≥(a＋c)2－3()2，则(a＋c)2≤3，解得a＋c≤2，故△ABC周长的最大值为3.[答案]39．(2015·咸阳模拟)有一解三角形的题目因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC中，已知a＝，2cos2＝(－1)cosB，c＝________，求角A.(答案提示：A＝60°，请将条件补充完整)[解析]由题知1＋cos(A＋C)＝(－1)cosB，所以1－cosB＝(－1)cosB，解得cosB＝，所以B＝45°，又A＝60°，所以C＝75°.根据正弦定理，得＝，解得c＝.故应填.[答案]10．(2015·广东重点中学联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝，则的值为________．[解析]由正弦定理＝＝得＝＝，即(cosA－3cosC)sinB＝(3sinC－sinA)·cosB，化简可得，sin(A＋B)＝3sin(B＋C)，又知A＋B＋C＝π，所以sinC＝3sinA，因此＝3.[答案]3三、解答题11．(2014·辽宁高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c.已知BA·BC＝2，cosB＝，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．[解析](1)BA·BC＝2，得c·acosB＝2，又cosB＝，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB，又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.联立得或因为a＞c，所以a＝3，c＝2.(2)在△ABC中，sinB＝＝＝.由正弦定理，得sinC＝sinB＝×＝.因为a＝b＞c，所以C为锐角，因此cosC＝＝＝.于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝×＋×＝.12．(2015·衡水模拟)如图，在△ABC中，sin∠ABC＝，AB＝2，点D在线段AC上，且AD＝2DC，BD＝.(1)求BC的长．(2)求△DBC的面积．解：(1)因为sin∠ABC＝，所以cos∠ABC＝1－2×＝.在△ABC中，设BC＝a，AC＝3b，则由余弦定理可得9b2＝a2＋4－a，①在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得cos∠ADB＝，cos∠BDC＝.因为cos∠ADB＝－cos∠BDC，所以有＝－，所以3b2－a2＝－6.②由①②可得a＝3，b＝1，即BC＝3.(2)由(1)得△ABC的面积为×2×3×＝2，所以△DBC的面积为.
