高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 第三节 相似三角形的判定课后导练 新人教A版选修4-1-新人教A版高二选修4-1数学试题VIP免费

三相似三角形的判定及性质课后导练基础达标1.如图1-3-9,D为△ABC的边AB上的点,连结CD,求点D满足什么条件才能使△ACD∽△ABC?图1-3-9解析：△ACD与△ABC有一公共角∠A,∴若使两三角形相似,需要另一角相等或构成∠A的两边对应成比例.∴D应满足下列条件之一即可.(1)∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB;(2)ABACACAD或AC2=AD・AB.2.已知M是Rt△ABC斜边AB的中点,过M作AB的垂线交AC于D,交BC延长线于E.求证:MC2=MD・ME.图1-3-10证明: M为Rt△ABC斜边AB的中点,∴CM为中线.∴CM=AM=21AB.∴∠A=∠ACM.又 ∠A+∠B=90°,∠E+∠B=90°,∴∠A=∠E.∴∠E=∠ACM.又∠CME=∠DMC,∴△CME∽△DMC.∴MEMC=MCMD.∴MC2=MD·ME.3.如图1-3-11,△DBA∽△ABC的条件是()图1-3-111A.CDAC=BDABB.AB2=BD·BCC.CD2=AD·ABD.ADAC=BCAB解析：△DBA与△ABC有公共角∠B.若它们相似,需构成该角的两边对应成比例,只有选项B.AB2=BD・BCBDAB=ABBC符合条件.答案:B4.如图1-3-12,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,DE⊥AC,则图中和△ABC相似的三角形的个数为()图1-3-12A.1B.2C.3D.4解析：△CBD∽△ABC,因它们含公共角∠B,同理,△ADE∽△ABC,△ACD∽△ABC. ∠CDE=∠A,∴△DCE∽△ABC,共四个.答案:D5.如图,在ABCD中,DB是对角线,E是AB上一点,连结CE且延长交DA的延长线于F,则图中相似三角形的对数是()图1-3-13A.2B.3C.4D.大于4解析： AE∥CD,∴△AEF∽△DCF. BE∥CD,∴△BOE∽△DOC. BC∥AF,∴△DOF∽△BOC. ∠CDF=∠EBC,∠F=∠ECB,∴△CDF∽△EBC.又 三角形相似具有传递性,∴△AFE∽△BCE.因此相似三角形的对数大于4对.答案:D综合运用6.如图1-3-14,在△ABC中,AD⊥BC,DF⊥AC,DE⊥AB.求证:△AEF∽△ACB.2图1-3-14证明: DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠AED=90°,∠AFD=90°.∴∠AED+∠AFD=180°.∴点A、E、D、F四点共圆.∴∠1=∠2.又AD⊥BC,∴∠C+∠CAD=90°,∠2+∠CAD=90°.∴∠2=∠C.∴∠1=∠C,∠EAF=∠CAB.∴△AEF∽△ACB.7.求证:斜边上的高、斜边上的中线对应成比例的两直角三角形相似.如图,已知Rt△ABC,∠C=90°,Rt△A′B′C′,∠C′=90°,CD、CE、C′D′、C′E′分别是它们斜边上的高和中线,且''''ECCEDCCD.求证:Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.图1-3-15证明:在Rt△CDE和△C′D′E′中, ''''ECCEDCCD,∴Rt△CDE∽Rt△C′D′E′.∴∠CED=∠C′E′D′.又 CE是斜边中线,∴CE=21AB=BE.∴∠ECB=∠B.又 ∠B+∠ECB=∠CED,∴∠B=21∠CED,同理,∠B′=21∠C′E′D′.∴∠B=∠B′.∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.8.在△ABC中,AB=AC,D、E分别为AB、BC上的点,连结DE并延长交AC的延长线于F.求证:DE・CF=EF・BD.图1-3-163证明:过D作DG∥AC交BC于G，∴∠BGD=∠ACB.又 AB=AC,∴∠B=∠ACB.∴∠B=∠BGD.∴BD=DG.在△DEG和△FEC中,∠EDG=∠F,∠DEG=∠FEC,∴△DEG∽△FEC.∴EFDE=CFDG.∴DE・CF=EF・DG.∴DE・CF=EF・BD.9.如图1-3-17,E是ABCD的边AD上的一点,连结CE并延长与BA的延长线相交于点P,EF∥AP交PD于F.求证:AF∥BD.图1-3-17思路分析:欲证AF∥BD只需证明PBPA=PDPF.由于PBPA与PDPF相等无法直接证明,它们又分在两个三角形中,即△PBC与△PDC中,而PC是公共边,于是可联想用比PCPE作为“中介”.证明： AE∥BC，∴△PAE∽△PBC.∴PBPA=PCPE=BCAE. AD=BC,∴PBPA=ADAE.又 EF∥PA，∴PDPF=ADAE.∴PBPA=PDPF.∴AF∥BD.10.如图1-3-18,△ABC中,AB=AC,E是AB的中点,延长AB到D,使BD=AB,求证:CD=2CE.4?图1-3-184思路分析:CD、CE分别处于△ACD和△AEC中,ABAE=ACAE=21.考虑证△ACD∽△AEC,只需证ADAC=21.证明: E是AB中点,∴ABAE=21. AB=AC,∴ACAE=21.又AB=AC=BD,∴ADAC=21.∴ACAE=ADAC,∠A=∠A.∴△AEC∽△ACD.∴CDCE=ACAE=21.∴CD=2CE.拓展探究11.操作:如图1-3-19,在正方形ABCD中,P是CD上一动点(与C、D不重合),使三角尺的直角顶点与点P重合,并且一条直角边始终经过点B,另一直角边与正方形的某边所在的直线交于点E.图1-3-19探究:观察操作结果,哪一个三角形与△BPC相似?并证明你的结论.解析：①当另一条直角边与AD交于E,那么△PDE∽△BCP. ∠2+∠3=90°,∠1+?=90°(∠BPE=90°),∴∠1=∠2.Rt△PDE∽Rt△BCP.②当另一条边与BC的延长线相交,如图1-3-20.图1-3-20 ∠PBC=∠EBP,∴Rt△...