函数的解析式、定义域和值域知识精讲一.本周教学内容：函数的解析式、定义域和值域（一）基本知识1.函数的解析式1°函数的解析式是用一种等式来表示函数的定义域和值域之间的一种对应关系，是函数表达式中最常用的一种，它与所取的字母无关，如：f(x)＝x2＋1与f(t)＝t2＋1应视为同一函数。2°求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法若已知函数类型，如一次、二次……等一般可先设出函数的解析式，然后根据题设条件求其待定系数，进而得函数表达式。（2）赋值法通过取特殊值或变量变换，然后解方程求出函数解析式。（3）已知f(g(x))的解析式，求f(x)的解析式，用换元法或配方法求解，应注意定义域的变化。已知f(x)的解析式，求f(g(x))的解析式直接代换即可。2.函数的定义域1°定义域是自变量x的取值范围，它是函数的不可缺少的组成部分，定义域不同而解析式相同的函数应看作两个不同的函数，以后若未特别说明，函数的定义域就是指使函数的解析式有意义的x的取值范围。2°求函数定义域的依据（1）由函数解析式求定义域a.分式（分母≠0）b.偶次方根（被开方数≥0）c.对数式（真数＞0，0＜底≠1）d.指数函数（0＜底≠1）e.0次幂（底≠0）（2）已知f(x)的定义域是［a，b］，求f(g(x))的定义域，解不等式a≤g(x)≤b，即可。已知f(g(x))的定义域是［a，b］，求f(x)的定义域，则由x∈［a，b］g(x)的范围。注意：f(g(x))的定义域是［a，b］，意思是x∈［a，b］，而不是g(x)∈［a，b］。（3）实际问题和几何问题给出的函数的定义域除解析式的意义外，还应考虑实际问题的几何意义。重点和难点：求函数解析式和定义域，特别是运用函数思想解决实际问题这类题的关键是建立函数的解析式，并确定定义域。3.函数的值域1°值域是全体函数值的集合，是函数三要素之一，值域是由定义域和对应法则确定。2°基本函数值域（1）一次函数y＝kx＋b（k≠0）的值域为R。（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）特别应关注二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），在区间［a，b］上的值域的讨论。（4）指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）的值域是R+（5）对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）的值域是R（6）正余弦函数的值域为［－1，1］3°求值域的基本方法（1）分析观察法（直接法）对结构不复杂的函数，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。（2）配方法二次函数或能转化成为形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c型的函数的值域，均可用配方法注意f(x)的取值范围即可。（3）不等式法（利用均值不等式）（4）判别式法求值域把函数转化为关于x的二次方程F(x，y)＝0，通过方程有实根，判别式Δ≥0，从而求得原函数的值域，一般是形如（a1、a2不同时为零）的函数的值域常用此法求解。（5）反函数法利用函数与它的反函数的定义域和值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如（6）换元法求值域利用代数和三角换元，将所给函数转化成值域容易确定的另一函数，从而确定原函数的值域，形如（a、b、c、d均为常数，且ac≠0）的函数常用此法。（7）数形结合法利用函数表达式的几何意义，借助几何方法和图像求值域。重点和难点：求值域的基本方法和这些方法的灵活运用。【典型例题】解：小结：此题比较方便用配方法，注意配方法的技巧，一般其他这类题型用换元法较多。例2.已知f(x)＝x2＋4x＋3，t∈R，函数g(t)表示函数f(x)在区间［t，t+1］上的最小值求g(t)的表达式。分析： 对称轴x＝－2是否属于区间［t，t+1］将直接关系到最小值的表达式，故可分类讨论。解：小结：求函数解析式常要与其他知识综合，如此题要求熟悉二次函数在某特定区间上的最值，通常要利用图像帮助分析。例3.已知f(x)的定义域为(0，+∞)且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)，又当x＞y时f(x)＞f(y)。（1）求f(1)，f(4)的值；（2）解不等式f(x)＋f(x－3)≤2分析：可取x＝0，1，2，y＝0，1，2等特殊值，利用已知条件求解。解：（1）令x＝1，y＝2（2）首先由f(x)的定义域为（0，+∞）小结：此类题型（没有具体表达式，但给出了一些函数的性质）一般用赋值法求解，注意所赋值的特殊性。解：解：（1）这是2000年上海试题，对学生综合解题能力的提高是...
