章末综合测评(三)导数及其应用(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若函数f(x)=α2-cosx,则f′(α)等于()A.sinαB.cosαC.2α+sinαD.2α-sinαA[f′(x)=(α2-cosx)′=sinx,当x=α时,f′(α)=sinα.]2.若曲线y=在点P处的切线斜率为-4,则点P的坐标是()A.B.或C.D.B[y′=-,由-=-4,得x2=,从而x=±,分别代入y=,得P点的坐标为,2或-,-2.]3.已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=()【导学号:97792179】A.-4B.-2C.4D.2D[f′(x)=3x2-12,由f′(x)=0得x=±2,当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,函数f(x)递增;当x∈(-2,2)时,f′(x)<0,函数f(x)递减;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,函数递增,所以a=2.]4.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()A.(-∞,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+∞)D[f′(x)=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由f′(x)>0,得x>2,故选D.]5.过点(0,1)且与曲线y=在点(3,2)处的切线垂直的直线方程为()A.2x+y-1=0B.x-2y+2=0C.x+2y-2=0D.2x-y+1=0D[y′=′==,∴y′|x=3=-,故与切线垂直的直线斜率为2,所求直线方程为y-1=2x,即2x-y+1=0.故选D.]6.对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有()A.f(0)+f(2)<2f(1)B.f(0)+f(2)>2f(1)C.f(0)+f(2)≤2f(1)D.f(0)+f(2)≥2f(1)D[①若f′(x)不恒为0,则当x>1时,f′(x)≥0,当x<1时,f′(x)≤0,所以f(x)在(1,+∞)内单调递增,在(-∞,1)内单调递减.所以f(2)>f(1),f(1)2f(1).②若f′(x)=0恒成立,则f(2)=f(0)=f(1),综合①②,知f(0)+f(2)≥2f(1).]17.函数y=的最大值为()A.e-1B.eC.e2D.A[y′==,令y′=0,得x=e.当x>e时,y′<0;当00.故y极大值=f(e)=e-1.因为在定义域内只有一个极值,所以ymax=e-1.]8.如图1,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导数f′(x)的图象,则f(-1)的值为()图1A.B.-C.D.-或B[f′(x)=x2+2ax+a2-1,其图象为开口向上的抛物线,故不是图①,图②中,a=0,f′(x)=x2-1,与已知矛盾;故f′(x)的图象为图③,∴f′(0)=0,a=±1,又其对称轴在y轴右边,故a=-1,∴f(x)=x3-x2+1,∴f(-1)=-.]9.以长为10的线段AB为直径作半圆,则它的内接矩形面积的最大值为()A.10B.15C.25D.50C[设内接矩形的长为x,则宽为,∴S2=x2·=y,∴y′=50x-x3.令y′=0,得x2=50或x=0(舍去),∴S=625,即Smax=25.]10.对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是()A.0≤a≤21B.a=0或a=7C.a<0或a>21D.a=0或a=21A[f′(x)=3x2+2ax+7a,当Δ=4a2-84a≤0,即0≤a≤21时,f′(x)≥0恒成立,函数不存在极值点.]11.已知函数y=f(x)在定义域内可导,其图象如图2所示.记y=f(x)的导函数为y=f′(x),则不等式xf′(x)≤0的解集为()【导学号:97792180】图22A.∪[0,1]∪[2,3)B.∪[1,2]∪C.∪[2,3)D.∪∪A[对于不等式xf′(x)≤0,当-即af(b)0)...