偏微分方程数值解试题(06B)参考答案与评分标准信息与计算科学专业一（10分）、设矩阵对称，定义，
若,则称称是的驻点（或稳定点）
矩阵对称（不必正定），求证是的驻点的充要条件是：是方程组的解解:设是的驻点,对于任意的,令,(3分),即对于任意的,,特别取,则有,得到
(3分)反之,若满足,则对于任意的,,因此是的最小值点
(4分)评分标准:的展开式3分,每问3分,推理逻辑性1分二（10分）、对于两点边值问题：其中建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的形式和形式的变分方程
解:设为求解函数空间,检验函数空间
取,乘方程两端,积分应用分部积分得到(3分),即变分问题的形式
(3分)令,则变分问题的形式为求,使(4分)评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,三（20分）、对于边值问题（1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶
（2）取，求边值问题的数值解（写出对应的方程组的矩阵形式，并求解）（3）就和的一般情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示）
解:(1)区域离散,差分格式为(5分)应用展开得到,截断误差为,其阶为(3分)(2)未知量为,矩阵形式为,其中(4分)求解得到解为(3分)A=[4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4]L=2
0000-0
5000-0
5000001
9365-0
1291-0
5164001
9322-0
55210001
8516u=0
3333(3)矩阵为,(5分)评分标准:第1问8分,格式4分,截断误差4
(2)7分,方程4分,解3分
(3)5分,形式3分,B的形式2分四（20分）、对于初边值问题（1）建立向前差分格式（最简显格式），推导截断误差的主项，指出误差阶;（
