第66讲椭圆夯实基础【p150】【学习目标】1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．2．熟练掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归．3．了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用．【基础检测】1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆的长轴与焦距之差为4，则该椭圆为方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1【解析】设椭圆的焦距为2c，由条件可得＝，故a＝2c，由椭圆的长轴与焦距之差为4可得2(a－c)＝4，即a－c＝2，所以a＝4，c＝2，故b2＝a2－c2＝12，故该椭圆的方程为＋＝1.【答案】D2．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A(，0)，B(0，3)，则椭圆E的离心率为()A.B.C.D.【解析】由椭圆E：＋＝1(a>b>0)，经过点A(，0)，B(0，3)，可得a＝3，b＝，所以c＝＝2，其离心率e＝.【答案】A3．设椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆C上任意一点，则△AF1F2的周长为()A．9B．13C．15D．18【解析】由椭圆C：＋＝1知a＝5，b＝3，∴c＝4，则△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝10＋8＝18.【答案】D4．已知F是椭圆C：＋y2＝1的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为(4，3)，则|PQ|＋|PF|的最大值为__________．【解析】 点F为椭圆＋y2＝1的左焦点，∴F(－1，0)，设椭圆的右焦点为F′(1，0)， 点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为(4，3)，∴|PQ|＋|PF|＝|PQ|＋2－|PF′|＝2＋|PQ|－|PF′|，又 |PQ|－|PF′|≤|QF′|＝3，∴|PQ|＋|PF|≤5，即|PQ|＋|PF|的最大值为5，此时Q、F′、P共线．【答案】55．已知椭圆方程为＋y2＝1，则过点P且被P平分的弦所在直线的方程为____________．【解析】设这条弦与椭圆＋y2＝1交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由中点坐标公式知x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，把A(x1，y1)，B(x2，y2)代入＋y2＝1，作差整理得(x1－x2)＋2(y1－y2)＝0，∴kAB＝＝－.∴这条弦所在的直线方程为y－＝－，即2x＋4y－3＝0.【答案】2x＋4y－3＝0【知识要点】1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于__|F1F2|__)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距．2．椭圆的标准方程(1)__＋＝1__(a>b>0)，焦点F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝____．(2)＋＝1(a>b>0)，焦点__F1(0，－c)，F2(0，c)__，其中c＝____．3．椭圆的几何性质(以＋＝1(a>b>0)为例)(1)范围：__|x|≤a，|y|≤b__．(2)对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：O(0，0)．(3)顶点：长轴端点：A1(－a，0)，A2(a，0)，短轴端点：B1(0，－b)，B2(0，b)；长轴长|A1A2|＝2a，短轴长|B1B2|＝2b，焦距|F1F2|＝2c.(4)离心率e＝____，0|OF|.∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．【答案】A(2)设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________．【解析】由题意知|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6.∴|PF1|＝2×5－6＝4.【答案】4(3)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为()A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝1【解析】 △AF1B的周长为4，∴4a＝4，∴a＝， 离心率为，∴c＝1，∴b＝＝，∴椭圆C的方程为＋＝1.【答案】A考点2求椭圆的标准方程(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P(3，0)，则椭圆的方程为________________________________________________________________________．【解析】若焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)， 椭圆过P(3，0)，∴＋＝1，即a＝3，又2a＝3×2b，∴b＝1，方程为＋y2＝1.若焦点在y轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)． 椭圆过点P(3，0)．∴＋＝1，即b＝3.又2a＝3×2b...
