课时跟踪检测（十九）难点自选——函数与导数压轴大题的3大难点及破解策略1．定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝lnx－ax＋1，若f(x)有5个零点，求实数a的取值范围．解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0；所以要使f(x)在R上有5个零点，只需f(x)在(0，＋∞)上有2个零点．所以等价于方程a＝在(0，＋∞)上有2个根．所以等价于y＝a与g(x)＝(x>0)的图象有2个交点．g′(x)＝，x(0,1)(1，＋∞)g(x)＋－所以g(x)的最大值为g(1)＝1
因为x→0时，g(x)→－∞；x→＋∞时，由洛必达法则可知：limg(x)＝lim＝lim＝0，所以00，所以函数f′(x)在区间(－m，＋∞)上单调递增．则当x∈(－m，x0)时，f′(x0)0，故函数f(x)在(－m，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增．所以f(x)min＝f(x0)＝ex0－ln(x0＋m)．又x0满足方程ex0＝，则f(x0)＝ex0－ln(x0＋m)＝－lne－x0＝x0＋＝x0＋m＋－m≥2－m＝2－m≥0不等号①取等号的条件是不等号②取等号的条件是m＝2
由于不等号①、②不能同时取等号，故f(x0)>0，即f(x)min>0，因此f(x)>0
3．已知函数f(x)＝ax＋＋c(a>0)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1
(1)试用a表示出b，c；(2)若f(x)≥lnx在[1，＋∞)恒成立，求a的取值范围．解：(1)b＝a－1，c＝1－2a
(2)题设即“a≥(x>1)，或a≥(x>1)恒成立”．用导数可证函数g(x)＝(x－1)2＋(x－1)－xlnx(x≥1)是增函数(只需证g′(x)＝x－lnx－1≥0(x≥1)恒成立，再用导数可证)，所以g(x)≥g(1)＝0(x≥1)，当且仅当x＝1时g(x)＝0，得1)，lim＝
