探究三角形“四心”到三边距离的等量关系226100江苏省海门中学渠怀莲在北大自主招生（2012年）试题中，有这样一道题：若锐角的外接圆的圆心为，求点到此三角形各边的距离之比
在解决此问题时，让笔者想到此三角形为什么限制是锐角，不是锐角结果会怎样
条件中的外心，变为三角形的内心、重心与垂心结果又如何
这就引发了对该题目的探究，并将探究过程整理如下
本文中我们假设中角对应的边为已知条件，因而对各角的三角函数值都可以求之，作为条件可以直接使用并记各“心”到三角形对应边的距离为，其外接圆的半径，内切圆的半径
问题1：若锐角的外接圆的圆心为，求点到些三角形各边的距离之比
解：（三角形各边中垂线的交点为其外心）如图1
1作，由圆相关性质，在中，，同理可得：，，所以
思考1：若为直角三角形，则点在边上，则，因而不能求其比值，但此时
思考2：若为钝角三角形，如图1
2则点在外部，此时由圆相关性质，由问题1，同理可得：，，所以
由以上分析可得到性质：在斜三角形中，其外心到三边距离之比等于对应角余弦值的绝对值之比即
问题2：若的内心为，求点到三边的距离之比
解：（三角形各角的平分线的交点为其内心）由内心的定义，可知点到三边的距离相等，即，且易得
2OCABD图1
1OCABD问题3：若的重心为，求点到三边的距离之比
解：（三角形各边的中线的交点为其重心）用等积法求之，连结，因是重心，则即可得到，所以即得三角形中，其重心到三边距离之比等于对应各边长倒数之比
问题4：若的垂心为，试探究点到三边的距离的等量关系式
解：（三角形各边高线的交点为其垂心）由三角形的垂心位置与其形状有关，按角分类讨论：（1）当为直角三角形时，垂心在点，记为，易得，而由等积法可求
（2）当为锐角三角形时，垂心在其内部，如图4
1同理可得：
探究一下三者的关系，设边对就的高为,又，代入上式：
（3）当为钝角三角形时，垂心
