探究三角形“四心”到三边距离的等量关系226100江苏省海门中学渠怀莲在北大自主招生(2012年)试题中,有这样一道题:若锐角的外接圆的圆心为,求点到此三角形各边的距离之比。在解决此问题时,让笔者想到此三角形为什么限制是锐角,不是锐角结果会怎样?条件中的外心,变为三角形的内心、重心与垂心结果又如何?这就引发了对该题目的探究,并将探究过程整理如下。本文中我们假设中角对应的边为已知条件,因而对各角的三角函数值都可以求之,作为条件可以直接使用并记各“心”到三角形对应边的距离为,其外接圆的半径,内切圆的半径。问题1:若锐角的外接圆的圆心为,求点到些三角形各边的距离之比。解:(三角形各边中垂线的交点为其外心)如图1.1作,由圆相关性质,在中,,同理可得:,,所以。思考1:若为直角三角形,则点在边上,则,因而不能求其比值,但此时。思考2:若为钝角三角形,如图1.2则点在外部,此时由圆相关性质,由问题1,同理可得:,,所以。由以上分析可得到性质:在斜三角形中,其外心到三边距离之比等于对应角余弦值的绝对值之比即。问题2:若的内心为,求点到三边的距离之比。解:(三角形各角的平分线的交点为其内心)由内心的定义,可知点到三边的距离相等,即,且易得。图1.2OCABD图1.1OCABD问题3:若的重心为,求点到三边的距离之比。解:(三角形各边的中线的交点为其重心)用等积法求之,连结,因是重心,则即可得到,所以即得三角形中,其重心到三边距离之比等于对应各边长倒数之比。问题4:若的垂心为,试探究点到三边的距离的等量关系式。解:(三角形各边高线的交点为其垂心)由三角形的垂心位置与其形状有关,按角分类讨论:(1)当为直角三角形时,垂心在点,记为,易得,而由等积法可求。(2)当为锐角三角形时,垂心在其内部,如图4.1同理可得:。探究一下三者的关系,设边对就的高为,又,代入上式:。(3)当为钝角三角形时,垂心在其外部,如图4.1易知,,所以同理可得:,。由以上分析可得到性质:在斜三角形中,其垂心到三边距离之比为由正弦定理,我们可以得到更优美的形式:图4.1EFHABCD图4.2DHABCEF综上所述,我们得到斜三角形的各心到三边的距离有着整齐的比例关系,现总结如下:内心到三边距离之比为:外心到三边距离之比为:重心到三边距离之比为:垂心到三边距离之比为:参考文献1匡继昌.常用不等式.山东科学技术出版社(第四版)2朱华伟.高中自主招生与奥数讲义.浙江大学出版社(第一至三分册)3渠怀莲.一道以向量为载体的综合题的多角度解析.数学之友,2011,10