第4课时绝对值三角不等式A．基础巩固1．(2017年张家口期中)对于实数x，y，若|x－1|≤2，|y－1|≤2，则|x－2y＋1|的最大值为()A．2B．4C．5D．6【答案】D【解析】实数x，y，若|x－1|≤2，|y－1|≤2，则|x－2y＋1|＝|x－1－2(y－1)|≤|x－1|＋2|y－1|≤2＋2×2＝6，当且仅当|x－1|＝|y－1|＝2，即x＝－1或3，y＝－1或3时，取等号．故选D．2．(2017年鸡西期末)函数y＝|x＋1|＋|x＋3|的最小值为()A．2B．C．4D．6【答案】A【解析】利用绝对值三角不等式可得y＝|x＋1|＋|x＋3|≥|x＋1－(x＋3)|＝2，当(x＋1)(x＋3)≤0，即－3≤x≤－1时等号成立，故函数y＝|x＋1|＋|x＋3|的最小值为2.故选A．3．“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵|x－a|＜m，|y－a|＜m，∴|x－y|＝|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|＜2m.反过来取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝满足|x－y|＜2m，但|x－a|＜m且|y－a|＜m不成立．4．已知函数f(x)＝－2x＋1，对于任意正数ε，使得|f(x1)－f(x2)|＜ε成立的一个充分不必要的条件是()A．|x1－x2|＜εB．|x1－x2|＜C．|x1－x2|＜D．|x1－x2|＞【答案】C【解析】|f(x1)－f(x2)|＝|(－2x1＋1)－(－2x2＋1)|＝2|x1－x2|＜ε⇒|x1－x2|＜.∵|x1－x2|＜⇒|x1－x2|＜，但反过来不成立．故选C．5.(2018年齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)＝|x－3|－2，g(x)＝－|x＋1|＋4，若不等式f(x)－g(x)≥m＋1的解集为R，则m的取值范围为.【答案】(－∞，－3]【解析】f(x)－g(x)＝|x－3|＋|x＋1|－6.因为∀x∈R，由绝对值三角不等式得f(x)－g(x)＝|x－3|＋|x＋1|－6＝|3－x|＋|x＋1|－6≥|(3－x)＋(x＋1)|－6＝4－6＝－2，所以m＋1≤－2，得m≤－3，即m的取值范围是(－∞，－3].6．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意x1，x2(x1≠x2)，|f(x1)－f(x2)|＜|x1－x2|恒成立”的序号为______________．(1)f(x)＝；(2)f(x)＝|x|；(3)f(x)＝2x；(4)f(x)＝x2.【解析】(1)因为1＜x1＜2,1＜x2＜2，(1)|f(x1)－f(x2)|＝＝，因为1＜x1x2＜4，所以|f(x1)－f(x2)|＜|x1－x2|成立．(2)∵|f(x1)－f(x2)|＝||x1|－|x2||＝|x1－x2|，∴结论不成立，对于(3)，(4)取特殊值验证结论不成立．17．已知f(x)＝定义在区间[－1,1]上，设x1，x2∈[－1,1]，且x1≠x2.求证：|f(x1)－f(x2)|＜|x1－x2|.【解析】|f(x1)－f(x2)|＝|－|＝.∵|x1＋x2|≤|x1|＋|x2|，＋＞|x1|＋|x2|，∴|f(x1)－f(x2)|＜|x1－x2|.B．能力提升8．设|a|＜1，|b|＜1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是()A．|a＋b|＋|a－b|＞2B．|a＋b|＋|a－b|＜2C．|a＋b|＋|a－b|＝2D．不可能比较大小【答案】B【解析】当a＋b与a－b同号时，|a＋b|＋|a－b|＝|a＋b＋a－b|＝2|a|＜2.当a＋b与a－b异号时，|a＋b|＋|a－b|＝|a＋b－a＋b|＝2|b|＜2.所以|a＋b|＋|a－b|＜2.2
