第四章定积分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题不正确的是()A．若f(x)是连续的奇函数，则f(x)dx＝0B．若f(x)是连续的偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dxC．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则f(x)dx＞0D．若f(x)在[a，b]上连续且f(x)dx＞0，则f(x)在[a，b]上恒正解析：根据定积分的性质与几何意义可知，A、B、C均正确，D不正确．答案：D2.(sinx＋cosx)dx的值是()A．0B.C．2D．4解析：(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)＝2.答案：C3．已知自由下落物体的速度为v＝gt，则物体从t＝0到t＝t0所经过的路程为()A.gtB．gtC.gtD.gt解析：gtdt＝gt2t00＝gt.答案：C4．如图所示，阴影部分面积为()A.[f(x)－g(x)]dxB.[g(x)－f(x)]dx＋[f(x)－g(x)]dxC.[f(x)－g(x)]dx＋[g(x)－f(x)]dxD.[g(x)－f(x)]dx解析：S＝S1＋S2＝[g(x)－f(x)]dx＋[f(x)－g(x)]dx.答案：B5．设f(x)＝则f(x)dx等于()A.B.C.D．不存在解析：f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx＝＝＋＝.答案：C6．m＝exdx与n＝dx的大小关系是()A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．无法确定1解析：m＝exdx＝ex＝e－1，n＝dx＝lnx＝1，则m＞n.答案：A7．若(2x－3x2)dx＝0，则k＝()A．1B．2C．3D．4解析：若(2x－3x2)dx＝(x2－x3)|＝k2－k3＝0，解得k＝0或k＝1，因为积分上限大于下限，所以k＝1.答案：A8．函数f(x)＝的图像与x轴所围成的封闭图形的面积为()A.B．1C．2D.解析：如图，S＝×1×1＋cosxdx＝＋sinx＝＋sin＝.答案：A9．曲线y2＝6ax，x＝2a绕x轴旋转所得的旋转体体积是()A．2πa2B．4πa2C．12πa3D．14πa3解析：不妨设a>0，由旋转体积公式可得：V＝πy2dx＝π6axdx＝6πa2a0＝12πa3.答案：C10．若y＝(sint＋costsint)dt，则y的最大值是()A．1B．2C.D．0解析：y＝(sint＋costsint)dt＝(sint＋sin2t)dt＝＝－cosx－cos2x＋＝－cos2x－cosx＋＝－[(cosx＋1)2－1]＋＝－(cosx＋1)2＋2，故ymax＝2.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上)11．如果f(x)dx＝1，f(x)dx＝－1，则f(x)dx＝________________.解析：∵f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx，∴1＋f(x)dx＝－1.∴f(x)dx＝－2.2答案：－212．若(2x＋k)dx＝2，则k＝_____________.解析：(2x＋k)dx＝(x2＋kx)＝1＋k，即1＋k＝2，k＝1.答案：113．如图所示的阴影部分的面积用定积分可表示为__________．(不用计算)解析：∵在内cosx＞0，在内cosx＜0，故两部分面积分别为cosxdx和－cosxdx.答案：cosxdx－cosxdx.14．若如图算法框图输出的结果为a，则dx＝________.解析：由于算法框图，a＝－1，，2，周期性的出现，当i＝2011时，输出a＝2，则dx＝dx＝log2x|＝1.答案：1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)(1)设f(x)＝求f(x)dx；(2)求dx(a＞0)．解析：(1)f(x)dx＝x2dx＋(cosx－1)dx＝x3＋(sinx－x)＝sin1－.(2)由＝得dx＝xdx＋(－x)dx＝＝a2.16．(本小题满分12分)若(x2＋2ax)dx＝18a3(a为常数)，求常数k的值．解析：由于(x2＋2ax)dx＝＝(k＋2a)3＋a(k＋2a)2＝(k3＋9ak2＋24a2k＋20a3)＝18a3，所以k3＋9ak2＋24a2k－34a3＝0，即(k－a)(k2＋10ak＋34a2)＝0，3故k＝a.17．(本小题满分12分)已知曲线y＝x2(x≥0)上某点A处的切线与曲线以及x轴所围图形的面积为，则过切点A的切线方程是．解析：如图，设切点A(x0，x)．由y′＝2x，得过A点的切线方程为y－x＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－x令y＝0，得x＝，即C.于是所围图形的面积S＝S曲边AOB－S△ABC＝x2dx－|BC|·|AB|＝x3－··x＝x＝.所以x0＝1，从而切线方程为y＝2x－1.18．(本小题满分14分)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)求y＝f(x)的图像与两坐标轴所围成图形的面积．(3)若直线x＝－t(0＜t＜1)把y＝f(x)的图像与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值．解析：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，又已知f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋c.又方程f(x)＝0有两个相等实根，∴判别式Δ＝4－4c＝0，即c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.(2)依题意所求面积S＝(x2＋2x＋1)dx＝＝.(3)依题意，有(x2＋2x＋1)dx＝(x2＋2x＋1)dx，∴＝∴－t3＋t2－t＋＝t3－t2＋t，即2t3－6t2＋6t－1＝0，∴2(t－1)3＝－1，解得t＝1－.4
