第五章数系的扩充与复数的引入一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若z＝，则复数＝()A．－2－iB．－2＋iC．2－iD．2＋i解析： z＝＝－i(1＋2i)＝2－i，∴＝2＋i.答案：D2．i2011＋i2012在复平面内表示的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：i2011＋i2012＝－i＋1＝1－i，∴表示的点在第四象限．答案：D3．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值为()A．1B．－1C．±1D．以上都不对解析： 复数为纯虚数，∴解得x＝1.答案：A4．在复平面时，向量AB对应的复数是2＋i，向量CB对应的复数是－1－3i，则向量CA对应的复数为()A．1－2iB．－1＋2iC．3＋4iD．－3－4i解析：CA＝CB－AB＝－1－3i－2－i＝－3－4i，故选D.答案：D5．在复平面内，若复数z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点在第二象限内，则实数m的取值范围是()A．(0,3)B．(－2,0)C．(3,4)D．(－10,2)解析：z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i，则，解得3＜m＜4.答案：C6．给出下列命题(1)实数的共轭复数一定是实数；(2)满足|z－i|＋|z＋i|＝2的复数z的轨迹是椭圆；(3)若m∈Z，i2＝－1，则im＋im＋1＋im＋2＋im＋3＝0.其中正确命题的序号是()A．(1)B．(2)(3)C．(1)(3)D．(1)(4)1解析：(1)显然正确；(2)中复数z表示的点到i和－i表示的点的距离的和为2，其轨迹是线段，故(2)错；(3)中，im＋im＋1＋im＋2＋im＋3＝im＋im＋1－im－im＋1＝0，故(3)正确．答案：C7．设复数z满足＝i，则|1＋z|等于()A．0B．1C.D．2解析： ＝i，∴1－z＝i＋zi.∴(1＋i)z＝1－i.∴z＝＝－i.∴|1＋z|＝|1－i|＝.答案：C8．如果复数z＝3＋ai满足条件|z－2|＜2，那么实数a的取值范围为()A．(－2，2)B．(－2,2)C．(－1,1)D．(－，)解析： |z－2|＝|3＋ai－2|＝＜2，∴a2＜3，∴－＜a＜.答案：D9．若z＝cosθ＋isinθ(i为虚数单位)，则使z2＝－1的θ值可能是()A.B.C.D.解析： z2＝cos2θ－sin2θ＋2sinθcosθ·i＝cos2θ＋isin2θ＝－1.∴，∴2θ＝2kπ＋π，即θ＝kπ＋(x∈Z)．答案：D10．设f(z)＝1－，z1＝2＋3i，z2＝5－i，则f()等于()A．－4－4iB．4＋4iC．4－4iD．－4＋4i解析： z1－z2＝2＋3i－(5－i)＝－3＋4i∴＝－3－4i，∴f()＝1－(－3＋4i)＝4－4i.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．若复数z＝1－2i(i为虚数单位)，则z·＋z＝________________.解析： z＝1－2i，∴z·＝|z|2＝5.∴z·＋z＝6－2i.答案：6－2i12．复数z1＝－2mi，z2＝－m＋m2i，若z1＋z2＞0，则实数m＝___________.解析：z1＋z2＝(－2mi)＋(－m＋m2i)＝(－m)＋(m2－2m)i. z1＋z2＞0，∴z1＋z2为实数且大于0.∴解得m＝2.答案：213．定义运算＝ad－bc，若复数z符合条件＝3＋2i，则z＝_________.2解析：由定义运算可知2·zi－z＝3＋2i，z＝＝＝.答案：14．已知复数z1、z2满足：|z1|＝1，且z2在复平面中对应的点在直线4x－3y＋10＝0上，则|z1－z2|的最小值是________________．解析：由复数及模的几何意义，知|z1－z2|表示单位圆上的点与直线4x－3y＋10＝0上点的距离．由图知|z1－z2|min＝－1＝－1＝1.答案：1三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知复数z＝(2＋i)m2－－2(1－i)．求实数m取什么值时，复数z是(1)零；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数．解析：由于m∈R，复数z可以表示为z＝(2＋i)m2－3m(1＋i)－2(1－i)＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.(1)当即m＝2时，z为零．(2)当m2－3m＋2≠0，即m≠2且m≠1时，z为虚数．(3)当即m＝－时，z为纯虚数．(4)当2m2－3m－2＝－(m2－3m＋2)，解得m＝0或m＝2(舍去)，即m＝0时，z是复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数．16．(本小题满分12分)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.解析： (z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R，z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i. z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.17．(本...
