例说抽象函数的解决方法(推荐作者不详)函数是高中数学的核心内容,它对于学生掌握双基和发展能力具有十分重要的意义。通常所说的函数,一般都具有解析式、图表等某种具体的表现形式,但是有一类函数只给出了函数所满足的一部分性质或运算法则,而没有明确的表现形式,这类函数我们通常称之为抽象函数。抽象函数作为初等数学和近代数学的衔接点,既能体现数学的本质特征、近现代数学发展的威力,又能体现新课标对知识和技能考核的要求和高考的能力命意,必将受到人们的重视。以下介绍几种解决抽象函数问题的方法,力求使抽象函数问题的解法有“章”可循。一、赋值法赋值法的基本思路是:将所给函数的性质转化为条件等式,在条件等式中对变量赋予一些具体的值,构造出所需条件或发现某些性质,其中f(0)、f(1)是常常起桥梁作用的重要条件。例1设函数f(x)的定义域为(0,+∞),且对于任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立。若已知f(2)=1,试求:(1)f(1/2)的值;(2)f(2-n)的值,其中n为正整数。思路:合理赋值,化抽象为具体,发现递推规律。解:(1)令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1)∴f(1)=0再令x=2,y=1/2,则f(1)=f(2)+f(1/2)∴f(1/2)=-f(2)=-1(2)由于f(2-2)=f(1/2)+f(1/2)=-2,f(2-3)=f(1/2)+f(1/2)+f(1/2)=-3,依此类推就有f(2-n)=-n,其中n为正整数。例2已知函数f(x)满足:对任意x、y∈R都有f(x+y2)=f(x)+2f2(y),且f(1)≠0,则f(2005)=。1解:在f(x+y2)=f(x)+2f2(y)中,取x=y=0,则f(0)=0,再取x=0,y=1,代入得f(1)=2f2(1)。因为f(1)≠0,所以f(1)=1/2。在条件式中令x=n,y=1,则得递推式f(n+1)-f(n)=1/2。所以数列{f(n)}是首项为0.5、公差为0.5的等差数列,所以f(2005)=1002.5。点评:利用抽象条件,通过赋值(赋具体值或代数式)是解决抽象函数问题的基本方法。二、分类讨论法例3设f(x)是定义在R上的函数,当x>0时,f(x)>0,且对任意的实数x,y,均有f(x+y)=f(x)f(y).求证:对任意x∈R,都有f(x)>0.思路:依据求证目标,对自变量进行分类讨论。证明:先证f(0)>0.在f(x+y)=f(x)f(y)中,令x=y=0,则有f(0)=f2(0),∴f(0)=0或f(0)=1.当f(0)=0时,令y=0,x>0得,f(x)=f(x)·f(0)=0,此与题设:当x>0时,f(x)>0矛盾,所以f(x)≠0,故f(0)=1>0.再证当x<0时,f(x)>0.由于当x>0时,f(x)>0,因此当x<0时,-x>0,有f(-x)>0.而f(x)·f(-x)=f(0)=1,∴f(x)=1/f(-x)>0.于是,对任意x∈R,都有f(x)>0.点评:本题在分类讨论的过程中,灵活运用了赋值法.三、利用函数单调性2解抽象函数不等式,要设法将它转化成显性的不等式求解.这需要具备两个条件:一是要把不等式化为f(□)>f(△)的形式,二是要判断函数的单调性。再根据函数的单调性,将抽象函数不等式的符号"f"去掉,得到具体的不等式求解.例4若f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,且对一切a,b∈(0,+∞),都有f(a/b)=f(a)-f(b),且f(4)=1,试解不等式f(x+6)-f(1/x)>2.思路:逆用函数单调性,将不等式中的函数关系转化为自变量之间的关系.解:因为f(a/b)=f(a)-f(b),且f(4)=1,所以f(x+6)-f(1/x)>2,则f(x+6)-f(1/x)>2f(4),则有f(x2+6x)-f(4)>f(4),故f[(x2+6x)/4]>f(4).由于f(x)是(0,+∞)上的减函数,因此由1/x>0,x+6>0,(x2+6x)/4<4同时成立解得0<x<2,故原不等式的解集是(0,2).例5设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且对任意a、b∈[-1,1],当a+b≠0时,都有[f(a)+f(b)]÷(a+b)>0,解不等式f(x+1/2)<f(1/x-1).解:先证明函数的单调性.任取x1、x2∈[-1,1],当时x1<x2,f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=(x2-x1)[f(-x1)+f(x2)]÷(x2-x1)>0,即f(x1)<f(x2).所以在[-1,1]上是增函数,原不等式等价于-1≤x+1/2≤1,-1≤1/x-1≤1,x+1/2<1/x-1,同时成立,解得-3/2≤x<1.点析:(1)若函数f(x)在区间D上单调递...