2016-2017学年高中数学第1讲相似三角形的判定及有关性质第3节相似三角形的判定及性质第2课时相似三角形的性质课后练习新人教A版选修4-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．按如下方法将△ABC的三边缩小为原来的，如图，任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D、E，F.得到△DEF.①△ABC和△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长比为2∶1；④△ABC与△DEF的面积比为4∶1.则以上说法正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由相似三角形的性质定理及其推论可知①②③④正确．答案：D2．在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为()A．8,3B．8,6C．4,3D．4,6解析：∵AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEF，且相似比为2.∵△ABC的周长是16，面积是12，∴△DEF的周长是8，面积是3.答案：A3．如图，D、E、F是△ABC的三边中点，设△DEF的面积为，△ABC的周长为9，则△DEF的周长与△ABC的面积分别是()A．，1B．9,4C．，8D．，16解析：∵D、E、F分别为△ABC三边的中点，∴EF綊BC，DE綊AC，DF綊AB．∴△DFE∽△ABC，且＝.∴＝＝.又∵l△ABC＝9，∴l△DEF＝.又∵＝＝，S△DEF＝，∴S△ABC＝1.故选A．答案：A4．两个相似多边形面积的比为m，对应对角线比为n，且m＋n＝12，则＝()A．3B．4C．D．无法确定解析：由相似三角形的性质定理的推论可知＝.1答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．两相似三角形的相似比为1∶3，则周长之比为________，内切圆面积之比为________.解析：由性质2和相似三角形性质的推广易知．答案：1∶31∶96．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线EF∥BD，交AB于点E，交AC于点G，交AD于点F，若S△AEG＝S四边形EGCB，则＝________.解析：∵S△AEG＝S四边形EGCB，∴＝.由相似三角形的性质定理，得＝，∴E为AB的中点．由平行线等分线段定理的推论，知G为AC的中点．∵EF∥BC，AC⊥BC，∴FG⊥AC．又点G为AC的中点，∴FG为AC的中垂线．∴FC＝FA．∵EF∥BD，E为AB的中点，∴F为AD的中点．∴＝＝.三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图所示，在△ABC中，DE∥BC，在AB边上取一点F，使S△BFC＝S△ADE，求证：AD2＝AB·BF.证明：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝2.又∵＝，且S△BFC＝S△ADE，∴＝.∴AD2＝AB·BF.8．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，直线l平行于BD且与AB，DC，BC，AD及AC的延长线分别相交于点M，N，R，S和P，求证：PM·PN＝PR·PS.证明：∵BO∥PM，∴△BOA∽△MPA．∴＝.∵DO∥PS，2∴△DOA∽△SPA．∴＝.∴＝，即＝.由BO∥PR得△BOC∽△RPC，得＝.由DO∥PN得△DOC∽△NPC得＝.∴＝，即＝，∴＝.∴PM·PN＝PR·PS.☆☆☆9．(10分)如图，已知矩形ABCD的边长AB＝2，BC＝3，点P是AD边上的一动点(P异于A、D)，Q是BC边上的任意一点．连接AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.(1)求证：△APE∽△ADQ；(2)设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？(3)当Q在何处时，△ADQ的周长最小？(必须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明)．解析：(1)证明：∵PE∥DQ，∴∠APE＝∠ADQ，∠AEP＝∠AQD，∴△APE∽△ADQ.(2)∵△APE∽△ADQ，∴＝2.∵AD∥BC，∴△ADQ的高等于AB．∴S△ADQ＝3.∴S△APE＝x2.同理，由PF∥AQ，可得△PDF∽△ADQ，＝2.∵PD＝3－x，∴S△PDF＝(3－x)2.∵PE∥DQ，PF∥AQ，∴四边形PEQF是平行四边形．∴S△PEF＝S▱PEQF＝(S△ADQ－S△APE－S△PDF)＝－x2＋x＝－2＋.∴当x＝时，即P是AD的中点时，S△PEF取得最大值，最大值为.(3)作A关于直线BC的对称点A′，连接DA′交BC于Q，则此Q点就是使△ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点．3
