考点集训(五)第5讲函数的值域与最值对应学生用书p207A组题1．(多选)已知x∈，则函数f＝－x2＋x＋1()A．无最小值B．有最大值C．有最大值1D．有最小值－1[解析]因为f＝－x2＋x＋1＝－＋，x∈，所以当x＝时有最大值fmax＝，f无最小值．[答案]AB2．函数f(x)＝＋x的值域是()A．[0，＋∞)B．(－∞，0]C.D．[1，＋∞)[解析]2x＋1≥0，即x≥－，且≥0.又因为函数f(x)＝＋x在定义域内单调递增，∴＋x≥－，则f(x)的值域为.[答案]C3．已知函数f＝－x2＋4x，x∈的值域是，则实数m的取值范围是()A.B.C.D.[解析]因为函数f(x)＝－x2＋4x在区间上的值域是，且f(4)＝0，所以函数值能取到最大值4，又f(0)＝0，∴实数m的取值范围是.[答案]B4．若函数f(x)＝(x∈A)的值域为，则其定义域A为________．[解析]函数f(x)＝(x∈A)的值域为，令≤－，即求得－2≤x＜1，所以函数f(x)的定义域A为[－2，1)．[答案][－2，1)5．函数f(x)＝1－的值域为________．[解析]函数的定义域为{x|x≠±1}，则：x2－1∈[－1，0)∪(0，＋∞)，－∈(－∞，0)∪[1，＋∞)，1－∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，即函数f(x)＝1－的值域为(－∞，1)∪[2，＋∞)．[答案](－∞，1)∪[2，＋∞)6．函数f(x)＝的最大值为__________．[解析]当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.[答案]27．已知函数g(x)＝＋1，h(x)＝，x∈，令函数f(x)＝g(x)·h(x)．则函数f(x)的值域为________．[解析]由已知f(x)＝，函数f(x)的定义域为，令＋1＝t，则x＝(t－1)2，t∈，f(x)＝F(t)＝＝.又t∈时，t＋单调递减，F(t)单调递增，F(t)∈，即函数f(x)的值域为.[答案]8．已知函数f(x)＝lg，其中a是大于0的常数．(1)求函数f(x)的定义域；(2)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．[解析](1)由x＋－2>0，得>0，当a>1时，x2－2x＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞)；当a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}；当0
1＋}．(2)设g(x)＝x＋－2，当a∈(1，4)，x∈[2，＋∞)时，g′(x)＝1－＝>0恒成立，所以g(x)＝x＋－2在[2，＋∞)上是增函数．所以f(x)＝lg在[2，＋∞)上是增函数．所以f(x)＝lg在[2，＋∞)上的最小值为f(2)＝lg.(3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立．所以a>3x－x2，令h(x)＝3x－x2，而h(x)＝3x－x2＝－＋在[2，＋∞)上是减函数，所以h(x)max＝h(2)＝2，所以a>2.B组题1．如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2，0]上的最大值与最小值之和为()A．2B．3C．4D．－1[解析]根据f(1＋x)＝f(－x)，可知函数f(x)的图象关于直线x＝对称．又函数f(x)在上单调递增，故f(x)在上单调递减，则函数f(x)在[－2，0]上的最大值与最小值之和为f(－2)＋f(0)＝f(1＋2)＋f(1＋0)＝f(3)＋f(1)＝log28＋log22＝4.[答案]C2．已知函数f(x)＝在R上存在最小值，则m的取值范围是________．[解析]x≤1时，f(x)＝log2(－x＋9)在(－∞，1]上单调递减，在(－∞，1]存在最小值f(1)＝3；x>1时，f(x)＝2x－3m在(1，＋∞)上单调递增；若f(x)在R上存在最小值，则只需满足log2(－1＋9)≤21－3m，∴m≤－.[答案]3．若定义运算a*b＝则函数f(x)＝log2x*log\f(1,2x的值域是________．[解析]令log2x0时，f(x)<0，f(1)＝－.则f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值的差为________．[解析]∵函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．又∵当x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)
