【红对勾】（新课标）2017高考数学大一轮复习第六章不等式、推理与证明6.6直接证明与间接证明真题演练文1．(2012·湖南卷)对于n∈N*，将n表示为n＝ak×2k＋ak－1×2k－1＋…＋a1×21＋a0×20，当i＝k时，ai＝1，当0≤i≤k－1时，ai为0或1.定义bn如下：在n的上述表示中，当a0，a1，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn＝1；否则bn＝0.(1)b2＋b4＋b6＋b8＝________；(2)记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m＋1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是________．解析：本题考查对新定义的理解和应用能力，难度较大．弄清新定义的本质即可解题．该新定义的本质是将正整数n用二进制表示，所以b2＝b4＝b8＝1，b6＝0，所以b2＋b4＋b6＋b8＝3.因为b2k≠b2k＋1，b2k＋2≠b2k＋3，即b2k，b2k＋1与b2k＋2，b2k＋3都是一个为0和一个为1，所以最多相差2，即cm的最大值是2.答案：(1)3(2)22．(2012·辽宁卷)若x∈[0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是()A．ex≤1＋x＋x2B.≤1－x＋x2C．cosx≥1－x2D．ln(1＋x)≥x－x2解析：对于A，分别画出y＝ex，y＝1＋x＋x2在[0，＋∞)上的大致图象(如图)，知ex≤1＋x＋x2不恒成立，A错；对于B，令f(x)＝，则f′(x)＝＋·＝.∴x∈，f′(x)<0，f(x)为减函数，x∈，f′(x)>0，f(x)为增函数．∴f(x)最小值为f.又f＝×＝×＝<1，故B错；对于C，结合图象(如图)知正确；对于D，当x＝4时，ln5
b>0)的左、右顶点分别为A、B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．(1)若直线AP与BP的斜率之积为－，求椭圆的离心率；(2)若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|>.解：(1)设点P的坐标为(x0，y0)．由题意，有＋＝1.①由A(－a,0)，B(a,0)，得kAP＝，kBP＝.由kAP·kBP＝－，可得x＝a2－2y，代入①并整理得(a2－2b2)y＝0.由于y0≠0，故a2＝2b2.于是e2＝＝，所以椭圆的离心率e＝.(2)证法1：依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x0，y0)．由条件得消去y0并整理得x＝.②由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x＝a2.整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0.而x0≠0，于是x0＝，代入②，整理得(1＋k2)2＝4k22＋4.因为a>b>0，故(1＋k2)2>4k2＋4，即k2＋1>4，因此k2>3，所以|k|>.证法2：依题意，直线OP的方程为y＝kx，可设点P的坐标为(x0，kx0)．由点P在椭圆上，有＋＝1.因为a>b>0，kx0≠0，所以＋<1，即(1＋k2)x3，所以|k|>.
