课时跟踪检测(三十一)平面向量的数量积与平面向量应用举例一、题点全面练1．平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，(a＋2b)·a＝2，下列说法正确的是()A．a⊥bB.a与b同向C．a与b反向D．a与b夹角为60°解析：选B因为(a＋2b)·a＝1＋2××1×cosθ＝2，得cosθ＝1，所以θ＝0°，则a，b同向，故选B.2．(2018·长春模拟)向量a，b均为非零向量，若(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为()A.B.C.D．解析：选B因为(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，所以(a－2b)·a＝0，(b－2a)·b＝0，即a2－2a·b＝0，b2－2a·b＝0，所以b2＝a2，a·b＝，cos〈a，b〉＝＝＝.因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.3.(2019·茂名联考)如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则AC·BD＝()A．2B.3C．6D．12解析：选CAC·BD＝(AB＋BC)·(AD－AB)＝(AB＋BC)·(2BC－AB)＝2|BC|2＋BC·AB－|AB|2＝8＋2×2×－4＝6.4．(2018·贵州黔东南州一模)已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，且∠DAB＝90°，AB＝2，AD＝1，若点Q满足AQ＝2QB，则QC·QD＝()A．－B.C．－D．解析：选D以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．又AQ＝2QB，∴Q，∴QC＝，QD＝，∴QC·QD＝＋1＝.故选D.5．(2019·贵阳模拟)如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，找出D点的位置，计算AB·AD的值为()A．10B.11C．12D．13解析：选B以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4,1)，C(6,4)，根据四边形ABCD为平行四边形，可以得到D(2,3)，所以AB·AD＝(4,1)·(2,3)＝8＋3＝11.故选B.6．(2018·武汉模拟)在△ABC中，AC＝2AB＝2，∠BAC＝120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且AO＝3MO，则MB·MC的值是()A．－B.－C．－D．－解析：选A |AO|2＝2＝(|AB|2＋|AC|2＋2AB·AC)＝(12＋22＋2×1×2×cos120°)＝，∴|AO|＝，∴|MO|＝. |BC|2＝|AC|2＋|AB|2－2|AC|·|AB|·cos120°＝4＋1－2×2×1×＝7，∴|BC|＝，|OB|＝，∴MB·MC＝(MO＋OB)·(MO＋OC)＝(MO＋OB)·(MO－OB)＝|MO|2－|OB|2＝－＝－，故选A.7．(2018·长春一模)已知在正方形ABCD中，AE＝AB，AF＝AD，则CE在CF方向上的投影为________．解析：设正方形ABCD的边长为4，建立如图所示的平面直角坐标系，则由已知可得C(4,4)，E(2,0)，F(0,1)，所以CE＝(－2，－4)，CF＝(－4，－3)，则CE在CF方向上的投影为＝＝4.答案：48．边长为2的等边△ABC所在平面内一点M满足CM＝CB＋CA，则MA·MB＝________.解析： CA·CB＝2×2×cos＝2，∴MA·MB＝(CA－CM)·(CB－CM)＝·＝CA·CB－|CA|2－|CB|2＋CA·CB＝－×22－×22＋＝－.答案：－9．已知点M，N满足|MC|＝|NC|＝3，且|CM＋CN|＝2，则M，N两点间的距离为________．解析：依题意，得|CM＋CN|2＝|CM|2＋|CN|2＋2CM·CN＝18＋2CM·CN＝20，则CM·CN＝1，故M，N两点间的距离为|MN|＝|CN－CM|＝＝＝4.答案：410．在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足|MN|＝，则BM·BN的取值范围为________．解析：不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)，线段AC的方程为x＋y－2＝0(0≤x≤2)．设M(a,2－a)，N(a＋1,1－a)(由题意可知0＜a＜1)，∴BM＝(a,2－a)，BN＝(a＋1,1－a)，∴BM·BN＝a(a＋1)＋(2－a)(1－a)＝2a2－2a＋2＝22＋， 0＜a＜1，∴由二次函数的知识可得BM·BN∈.答案：11．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．解：由已知得，a·b＝4×8×＝－16.(1)① |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4.② |4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，∴|4a－2b|＝16.(2) (a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.当k＝－7时，(a＋2b)⊥(ka－b)．12．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．...
